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数学归纳法的理论根据是什么？运用时要注意些什么？ （1）理论根据是自然数的皮雅诺（peano,1858年-1932年，意大利数学家）公理，其中有一条叫做归纳公理：“如果某一正整数的集合M含有1，而且只要M含有正整数k，就一定含有k后面紧挨着的那个正整数k+1，那么M就是正整数集本身。” 现设P(n)是一个与正整数n有关的命题，用M表示使P(n)成立的正整数的集合。由数学归纳法的第一个步骤，可知命题P(1)成立，所以M含有1。再由数学归纳法的第二个步骤，可知在假设n＝k时命题P(k)成立后，可以推出n＝k＋1时命题P(k+1)也成立；换句话说，只要M含有正整数k，就一定含有k后面紧挨着的那个正整数k+1。因此，根据归纳公理，M就是正整数集本身，即命题P(n)对于所有正整数都成立。 （2）数学归纳法的两个步骤缺一不可。 （3）根据实际问题确定使命题成立的第一个正整数可能是1。也可能是2，3等（有时还可能取n＝0或-1等）。例如教科书第120页上的例3，第一步应取n＝2。又如证明凸n边形有  条对角线时，第一步应取n＝3。要切实理解命题P(n)中的正整数n在各种实际问题中代表什么。（4）在完成第二个步骤时，要运用命题P(k)成立这一归纳假定，去推导命题P(k+1)也成立。不能离开P(k)成立这一条件，用其他方法导出P(k+1)成立的结果，因为这样就看不出P(k)成立到P(k+1)成立这一递推关系了。 (责任编辑：admin) |