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应该怎样去认识数列极限的定义（第64页）？ 首先要指出，有极限的数列一定是无穷数列。如果我们画一条数轴，把一个极限为A的数列{an}中的数和A都在数轴上表示出来，那么，我们从图形上可以看出，“数列{an}的极限是A”相当于“随着n的增大，表示an(n＝1，2…)的点无限趋近于A的点”。什么叫做“无限趋近”呢？从直观上来说，就是“要多近，有多近”，也就是说，“随着n越来越大，点an与点A的距离要多小，有多小”，但作为科学的数学，是不允许用“无限趋近”或“要多近，有多近“等含糊不清的语言来它的概念下定义的。于是数学家们经过反复研究，提炼加工，用精确的数学语言对数列极限下了定义，这就是教科书第64页第二段中的话。 理解这段话，关键在于理解不等式|an－A|＜ε等价于点an∈(A－ε，A＋ε),这就是说，“数列{an}的极限是A”相当于“对于任何给定的正数ε。不管ε多么小，总可以根据ε找出数列的某一项aN后面所有的项的对应点都落在开区间 (A－ε，A＋ε)之内”。ε越小，开区间(A－ε，A＋ε)的长度2ε就越小，具有上述性质的aN在数列{an}中一般来说就越靠后；但不管怎样，这个aN总是找得到的。无论aN是数列{an}中的第几项，aN前边的项数总是有限的(-N，1)，aN后边的项数总是无限的。aN前边有限的几项对于aN后边无限多的项来说，其研究价值是可以忽略不计的。所以，点A邻近分布着aN后边的所有的项的对应点，这不正好同直观上的“无限趋近”或“要多近，有多近”相符合吗？ (责任编辑：admin) |