|
一、选择题 1. 如果  ，则使 的 的取值范围为（ ）A.  B.  C.  D.  解：显然  ，且 。  。要使 。当 时， ，即；当时， ，此时无解。由此可得， 使 的的取值范围为。 应选B。2.已知集合  ， ，则 ＝ （ ）A.  B. Ｒ C.  D.  解：    没有实数 可以使上述不等式成立。故 。从而有  。 应选C。3. 以  为六条棱长的四面体个数为 （ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 解：以这些边为三角形仅有四种：  ， ， ， 。固定四面体的一面作为底面： 当底面的三边为 时，另外三边的取法只有一种情况，即；当底面的三边为 时，另外三边的取法有两种情形，即， 。其余情形得到的四面体均在上述情形中。由此可知，四面体个数有３个。 应选 B。 4. 从１至169的自然数中任意取出３个数构成以整数为公比的递增等比数列的取法有（ ）种。 A. 89 B. 90 C. 91 D. 92 解：若取出的３个数构成递增等比数列  ，则有 。由此有 。当 固定时，使三个数为整数的 的个数记作 。由 ，知应是 的整数部分。 ， ， ， , ， , , , . 因此，取法共有  。 应选C 5. 若在复平面上三个点  构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，其中 ，则△ABC的面积为（ ）A.  B.  C. 1 D.  解：依题意，   ， 。△ABC的面积为  。 应选A。6.  2007重的末二位数字是 （ ） A. 01 B. 07 C. 43 D. 49 解：记  ｋ重。题目要求 的末二位数。 其中Ｍ为正整数。由此可得 的末二位数与 的末二位数字相同。首先来观察 的末二位数字的变化规律。
的末二位数字的变化是以４为周期的规律循环出现。 （ 为奇整数） （ 为正整数） 因此，  与 的末二位数字相同，为43。 应选 C。二、填空题 7. 设  为 的单调递增数列，且满足 ，则 。解：    （由题意可知取正号。）  因此，  公差为２的等差数列，即 。从而可得 。 答案为 。8. 设  为方程 的根（ ），则 。解： 由题意，  。由此可得 ， ， 以及  。  。答案为：  。9. 设  均为非负实数，则    的最小值为 。解： 在直角坐标系中，作点  ， ， ， ， 。则Ｉ＝ ＝  ＋ ＋ ＋ （应用三角不等式） ＋＋ ＋ ＝2007。如果取  ，即 ，那么Ｉ取到最小值2007。答案为 2007。10. 设  是定义在Ｒ上的奇函数，且满足 ；又当 时， ，则 ＝ 。解：依题意，  ，即是以４为周期的周期函数。因为当 时，，且为奇函数，所以当 时，。此时有  。可得 。又因为是以４为周期的周期函数，所以也有  ，（ ）。 答案为  （）。11. 设  ，则不超过 的最大整数为 。解：     ,  , , ,不超过的最大整数为 。 答案为 。12. 整数  ，且 ，则整数组 为 。解：方程两边同乘以８，得  。 因为，所以要使左边为奇数，只有 ，即 。则   。要使左边为奇数，只有 ，即 。从而有  ，即 。故有  。 答案为  。三、解答题 13. 已知抛物线  和点 。过点 任作直线，交抛物线于B,C两点。（１） 求△ABC的重心轨迹方程，并表示成  形式；（２） 若数列  ， ，满足 。试证： 。解：（１）设过 的直线方程为 。又设 ， ，联立方程组， 消去  ，得 。从而有， ， 。 ………… 5分设△ABC的重心坐标为  ，则  消去ｋ，即得  。 …………10分（２）因为 ，   ，所以 ，上式右边等号成立当且仅当  。假设 ，则 ， …………15分上式右边等号成立当且仅当  。由此得到（ ）。从而有 。 …………20分14. 设正实数 及非负实数 满足条件 求  的最小值，并论证之。解：根据  ，有 …………5分 ………… 10分 （ ）   ………… 15分上式取等号当且仅当  。 ………… 20分15. 设  ， 为子集。若 ，且存在 ， ， ，则称 为“好集”。求最大的 ，使含的 任意33元子集为好集。解：令  ， 。显然对任意  ，不存在 ，使得 成立。故Ｐ是非好集。因此  。 …………5分下面证明：包含21的任意一个33元子集A一定为好集。 设  。若1，3，7，42，63中之一为集合A的元素，显然为好集。 …………10分 现考虑1，3，7，42，63都不属于集合A。构造集合  ， ， ， ， ， ， ， ，  ， ， ， ， ， ， 。 ………… 15分由上可见，  每个集合中两个元素都是倍数关系。考虑最不利的情况，即 ，也即 中16个元素全部选作A的元素，A中剩下16个元素必须从这15个集合中选取16个元素。根据抽屉原理，至少有一个集合有两个元素被选，即集合A中至少有两个元素存在倍数关系。综上所述，包含21的任意一个33元子集A一定为好集，即 的最大值为21。 ……20分(责任编辑：admin) |
