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两枚还是三枚

http://www.newdu.com 2018-11-18 人民教育出版社 佚名 参加讨论

    有一种硬币游戏,其规则是:
    (1)有一堆硬币,共十二枚。
    (2)双方轮流从中取走两枚或三枚硬币。
    (3)谁取最后一枚硬币谁输。
    Ⅰ.阿曼德和比福德在玩这种游戏,阿曼德开局,比福德随后。
    Ⅱ.双方总是尽可能采取能使自己获胜的步骤;如果无法取胜,就尽可能采取能导致和局的步骤。
    这两人中是否必定会有一人赢?如果这样,谁会赢?
    (提示:首先判定当只有一枚硬币要你取的时候,你是处于稳操胜券的地位,还是处于注定要输,或者导致和局的地位;然后,判定当只有两枚硬币要你取的时候,你是处于稳操胜券的地位,还是处于注定要输,或者导致和局的地位;如此进行,直至判定有十二枚硬币要你取的情况。)
    答 案
    根据{Ⅱ.双方总是尽可能采取能使自己获胜的步骤;如果无法取胜,就尽可能采取能导致和局的步骤。},如果有一方能够取胜,那他一定要取胜。如果一方能够逼和(假定他不能取胜),那他一定要逼和。
    根据(2)和(3):
    (a)当这堆硬币中只有一枚硬币要取的时候、显然游戏只能以和局告终,因为谁也不能取。
    (b)当这堆硬币中有两枚硬币要取的时候,取者必输。这是因为他必须取走这两枚硬币。
    (c)当这堆硬币中有三枚硬币要取的时候,取者只能采取逼和的策略。这是因为如果他一下子把三枚硬币全都取走,那他就输了;于是他只取走两枚硬币,这样对方就不能取了。
    (d)当这堆硬币中有四枚硬币要取的时候,取者可以取走两枚硬币从而获胜,因为这样就使对方陷入了只有两枚硬币要取的必败境地。如果他取走三枚硬币游戏就以和局告终。
    (e)当这堆硬币中有五枚硬币要取的时候,如果取者能够留下一定枚数的硬币从而使对方陷于必败的境地,那他就赢了。因此,他取走了三枚硬币,使对方陷入了只有两枚硬币要取的必败境地。
    (f)当这堆硬币中有六枚硬币要取的时候,取者只能采取逼和的策略。他可以取走三枚硬币,这就造成了有三枚硬币要取的必和局面。如果他只取走两枚硬币,就把有四枚硬币要取的必胜机会留给了对方。
    按照这样的推理,我们可以发现,当这堆硬币中有两枚、七枚或十二枚硬币要取的时候,取者注定要输;当这堆硬币中有四枚、五枚、九枚或十枚硬币要取的时候,取者稳操胜券;这堆硬币中有一枚、三枚、六枚、八枚或十一枚硬币要取的时候,游戏必以和局告终。
    下列三表总结了这三类情况分别是怎样注定导致失败、怎样稳步走向胜利和怎样以和局告终的。
    
注定要输的局面 如果一方取走 他留给对方的必胜机会


    2

    2

    0
7
12

    

 
    

稳操胜券的局面 如果一方取走 他使对方陷入的必败境地


    4

    2

    2

    5

    3

    2

    9

    2

    7

    10

    3

    7

 
    

只能逼和的局面 如果一方取走 他造成的必和局面


    1
-
    1

    3

    2

    1

    6

    3

    3

    8

    2

    6

    11

    3

    8
 

    根据{(1)有一堆硬币,共十二枚。},开始时有十二枚硬币。由于十二枚硬币是注定要输的局面,谁开局谁必输。根据{Ⅰ.阿曼德和比福德在玩这种游戏,阿曼德开局,比福德随后。},是阿曼德开局,故阿曼德必输。因此比福德必赢。
     (责任编辑:admin)
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