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例析一道概率数列综合题

http://www.newdu.com 2018-11-16 互联网 佚名 参加讨论

    有人玩硬币走跳棋的游戏,已知硬币出现正反面的概率都为1/2,棋盘上标有第0站、第1站、第2站、第3站、……第100站,一枚棋子开始在第0站,棋手每掷一次硬币棋子向前跳动一次。若掷出正面,棋子向前跳一站,若掷出反面,棋子向前跳两站,直到棋子向前跳到第99站(胜利大本营)或第100站(失败大本营)时,此游戏结束。设棋子向前跳到第站概率为Pn
    (1)求P0,P1,P2
    (2)求证:Pn-Pn-1=-(P­n-1-Pn-2)/2;
    (3)求P99及P100
    分析:(1)棋子在第0站为必然事件,故概率为P0=1,若掷一次出正面则P1=1/2,棋子可从第0站向前跳两站直达第2站,也可先跳到第1站,再跳到第2站。故P2=(1/2)×(1/2)+(1/2)=3/4。
    (2)证明:棋子向前跳到第n站(2≤n≤99)的情况有两种:
    第一种,棋子先向前跳到第n-2站,又掷出反面。其概率为Pn-2/2
    第二种,棋子先向前跳到第n-1站,又掷出正面。其概率为Pn-1/2
    ∴Pn=Pn-2/2 + Pn-1/2,
    ∴Pn-Pn-1=-(Pn-1-Pn-2)/2。
    (3)解:由(2)知P1-P0,P2-P1,P3-P2,P4-P3,…P99-P98,是首项为P1-P0=-1/2公比为-1/2的等比数列。
    ∴P1-P0=-1/2, P2-P1=(-1/2)2, P3-P2=(-1/2)3, …P99-P98=(-1/2)99,以上各式相加得:
    P99-1=(-1/2)+(-1/2)2+(-1/2)3+(-1/2)4+…+(-1/2)99=(-1/2)[1-(-1/2)99]/(1+1/2)
    ∴P99=2[1-(1/2)100]/3。而第100站只能从第98站直达这一种情况。因为到第99站时此游戏已结束了。故P100=P98/2=1/2 × [2/3 + (-1/2)98/3]=1/3 + (1/2)99/3。
    评析:平时的概率应用题大都是将概率与排列组合知识结合,此题将概率与数列知识结合起来,同时又有游戏背景,趣味性浓。第100站的概率要小心隐含的陷阱。
     (责任编辑:admin)
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