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有人玩硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正反面的概率都为1/2，棋盘上标有第0站、第1站、第2站、第3站、……第100站，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币棋子向前跳动一次。若掷出正面，棋子向前跳一站，若掷出反面，棋子向前跳两站，直到棋子向前跳到第99站（胜利大本营）或第100站（失败大本营）时，此游戏结束。设棋子向前跳到第站概率为Pn， （1）求P0,P1，P2； （2）求证：Pn-Pn-1=-(Pn-1-Pn-2)/2； （3）求P99及P100。 分析：（1）棋子在第0站为必然事件，故概率为P0=1，若掷一次出正面则P1=1/2，棋子可从第0站向前跳两站直达第2站，也可先跳到第1站，再跳到第2站。故P2=(1/2)×(1/2)+(1/2)=3/4。 （2）证明：棋子向前跳到第n站(2≤n≤99)的情况有两种： 第一种，棋子先向前跳到第n-2站,又掷出反面。其概率为Pn-2/2 第二种，棋子先向前跳到第n-1站,又掷出正面。其概率为Pn-1/2 ∴Pn=Pn-2/2 + Pn-1/2， ∴Pn-Pn-1=-(Pn-1-Pn-2)/2。 （3）解：由（2）知P1-P0，P2-P1，P3-P2，P4-P3，…P99-P98，是首项为P1-P0=-1/2公比为-1/2的等比数列。 ∴P1-P0=-1/2, P2-P1=(-1/2)2, P3-P2=(-1/2)3, …P99-P98=(-1/2)99，以上各式相加得： P99-1=(-1/2)+(-1/2)2+(-1/2)3+(-1/2)4+…+(-1/2)99=(-1/2)[1-(-1/2)99]/(1+1/2) ∴P99=2[1-(1/2)100]/3。而第100站只能从第98站直达这一种情况。因为到第99站时此游戏已结束了。故P100=P98/2=1/2 × [2/3 + (-1/2)98/3]=1/3 + (1/2)99/3。 评析：平时的概率应用题大都是将概率与排列组合知识结合，此题将概率与数列知识结合起来，同时又有游戏背景，趣味性浓。第100站的概率要小心隐含的陷阱。 (责任编辑：admin) |