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一、教学内容：椭圆的方程 高考要求：理解椭圆的标准方程和几何性质． 重点：椭圆的方程与几何性质． 难点：椭圆的方程与几何性质． 二、知识点： 1、椭圆的定义、标准方程、图形和性质
2、椭圆中a，b，c，e的关系是： （2）余弦定理：  ＋ －2r1r2cos = r1r2 sin ?2c| y0 |（其中P（ ）三、基础训练： 1、椭圆  的标准方程为 ，焦点坐标是 ，长轴长为___2____，短轴长为 的值是__3或5__；3、两个焦点的坐标分别为  ___；4、已知椭圆  上一点P到椭圆一个焦点 的距离是7，则点P到另一个焦点 ，则椭圆的离心率为 =10，化简的结果是 ；满足方程  的最大值是 8 ．【典型例题】 例1、（1）已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，短轴长为4，求椭圆的方程． 解：设方程为  ．所求方程为  （2）中心在原点，焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到右顶点的距离为1，求椭圆的方程． 解：设方程为  ．所求方程为  ，求以 为焦点且过点 的椭圆方程 ．解：（1）由题意可设所求椭圆的标准方程为  ∴ ， 1）的椭圆的标准方程．解：设方程为  例2、如图所示，我国发射的第一颗人造地球卫星运行轨道是以地心（地球的中心）  为一个焦点的椭圆，已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面439km，远地点B（离地面最远的点）距地面2384km，并且 、A、B在同一直线上，设地球半径约为6371km，求卫星运行的轨道方程 （精确到1km）．解：建立如图所示直角坐标系，使点A、B、 在 轴上，则  =|OA|－|O |=| A|=6371＋439=6810 =7782.5， =972.5 ．卫星运行的轨道方程为   例3、已知定圆 分析：由两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值 根据图形，用数学符号表示此结论： 上式可以变形为  ，又因为  ，所以圆心M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆解：知圆可化为： 设动圆圆心为  ，则  为半径 又圆M和圆Q内切，所以 ，即  ，故M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆，且PQ中点为原点，所以 ，故动圆圆心M的轨迹方程是：  例4、已知椭圆的焦点是  ｜和｜（2）若点P在第三象限，且∠  =120°，求 ．选题意图：综合考查数列与椭圆标准方程的基础知识，灵活运用等比定理进行解题． 解：（1）由题设｜  ｜=2｜ ｜=4∴  ， 2c=2， ∴ｂ= ．（2）设∠  ，则∠ =60°－θ由正弦定理得：  由等比定理得：   整理得：  故  ． 说明：曲线上的点与焦点连线构成的三角形称曲线三角形，与曲线三角形有关的问题常常借助正（余）弦定理，借助比例性质进行处理．对于第二问还可用后面的几何性质，借助焦半径公式余弦定理把P点横坐标先求出来，再去解三角形作答 例5、如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向 轴作垂线段PP?@，求线段PP?@的中点M的轨迹（若M分 PP?@之比为 ，求点M的轨迹）解：（1）当M是线段PP?@的中点时，设动点  ，则 的坐标为因为点 在圆心为坐标原点半径为2的圆上，所以有  （2）当M分 PP?@之比为 时，设动点 ，则 的坐标为因为点 在圆心为坐标原点半径为2的圆上，所以有 ，即  例6、设向量  =（1， 0）， =（x＋m） ＋y =（x－m） ＋y |＋|（II）已知点A（－1， 0），设直线y=  （x－2）与点P的轨迹交于B、C两点，问是否存在实数m，使得 ？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．解：（I）∵  =（1， 0），  =（0， 1）， | =6上式即为点P（x， y）到点（－m， 0）与到点（m， 0）距离之和为6．记F1（－m， 0），F2（m， 0）（0<m<0），则|F1F2|=2m＜6． ∴ |PF1|＋|PF2|=6＞|F1F2| 又∵x＞0，∴P点的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆的右半部分． ∵ 2a=6，∴a=3 又∵ 2c=2m，∴ c=m，b2=a2－c2=9－m2 ∴ 所求轨迹方程为  （x＞0，0＜m＜3）（ II ）设B（x1， y1），C（x2， y2）， ∴ （x1－2）? （x2－2）=  [x1x2－2（x1＋x2）＋4]∴ [x1x2－2（x1＋x2）＋4]= [10x1x2＋7（x1＋x2）＋13]若存在实数m，使得 成立则由 [10x1x2＋7（x1＋x2）＋13]=可得10x1x2＋7（x1＋x2）＋10=0 ① 再由  消去y，得（10－m2）x2－4x＋9m2－77=0 ② 因为直线与点P的轨迹有两个交点． 所以  由①、④、⑤解得m2=  ＜9，且此时△＞0但由⑤，有9m2－77=  ＜0与假设矛盾∴ 不存在符合题意的实数m，使得 例7、已知C1：  ，抛物线C2：（y－m）2=2px （p＞0），且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点．（Ⅰ）当AB⊥x轴时，求p、m的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上； （Ⅱ）若p= ，且抛物线C2的焦点在直线AB上，求m的值及直线AB的方程．解：（Ⅰ）当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m=0，直线AB的方程为x=1，从而点A的坐标为（1， ）或（1，－ ）．∵点A在抛物线上，∴  此时C2的焦点坐标为（  ，0），该焦点不在直线AB上．（Ⅱ）当C2的焦点在AB上时，由（Ⅰ）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k（x－1）． 由   （kx－k－m）2= ①因为C2的焦点F´（  ，m）在y=k（x－1）上．所以k2x2－ （k2＋2）x＋ =0 ②设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2=  由  （3＋4k2）x2－8k2x＋4k2－12=0 ③ 由于x1、x2也是方程③的两根，所以x1＋x2=  从而 =  k2=6即k=± 又m=－  ∴m= 或m=－当m= 时，直线AB的方程为y=－ （x－1）；当m=－ 时，直线AB的方程为y= （x－1）．例8、已知椭圆C：  （a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为e．直线l：y=ex＋a与x轴，y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设 = ．（Ⅰ）证明：  ，△MF1F2的周长为6，写出椭圆C的方程；（Ⅲ）确定  ，0），B（0，a）．由  得 这里 = ，a）即  解得 （Ⅱ）当  时， ∴a=2c由△MF1F2的周长为6，得2a＋2c=6 ∴a=2，c=1，b2=a2－c2=3 故所求椭圆C的方程为  （Ⅲ）∵PF1⊥l ∴∠PF1F2=90°＋∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，即 |PF1|=C．设点F1到l的距离为d，由 |PF1|= = =e ∴e2= 于是 即当 【模拟试题】 一、选择题 1、动点M到定点  和 的距离的和为8，则动点M的轨迹为 （ ）A、椭圆 B、线段 C、无图形 D、两条射线 2、设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 （ ） A、  C、2－ －13、（2004年高考湖南卷）F1、F2是椭圆C：  的焦点，在C上满足PF1⊥PF2的点P的个数为（ ）A、2个 B、4个 C、无数个 D、不确定 4、椭圆  的左、右焦点为F1、F2，一直线过F1交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为 （ ）A、32 B、16 C、8 D、4 5、已知点P在椭圆（x－2）2＋2y2=1上，则  的最小值为（ ）A、  C、 6、我们把离心率等于黄金比 是优美椭圆，F、A分别是它的左焦点和右顶点，B是它的短轴的一个端点，则 等于（ ）A、  C、二、填空题 7、椭圆  的顶点坐标为 和 ，焦点坐标为 ，焦距为 ，长轴长为 ，短轴长为 ，离心率为 ，准线方程为 ．8、设F是椭圆  的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点Pi（i=1，2， ），使得|FP1|、|FP2|、|FP3|…组成公差为d的等差数列，则d的取值范围是 ．9、设  ， 是椭圆 的两个焦点，P是椭圆上一点，且 ，则得 ．10、若椭圆 =1的准线平行于x轴则m的取值范围是三、解答题 11、根据下列条件求椭圆的标准方程 （1）和椭圆 共准线，且离心率为 ．（2）已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为  和 ，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点．12、已知 轴上的一定点A（1，0），Q为椭圆 上的动点，求AQ中点M的轨迹方程13、椭圆  的焦点为 =（3， －1）共线．（1）求椭圆的离心率； （2）设M是椭圆上任意一点，且  = 、 ∈R），证明 为定值． 【试题答案】 1、B 2、D 3、A 4、B 5、D（法一：设  ，则y=kx代入椭圆方程中得：（1＋2k2）x2－4x＋3=0，由△≥0得： ．法二：用椭圆的参数方程及三角函数的有界性求解）6、C 7、（  ；（0， ）；6；10；8； ； ．8、 ∪ 9、 10、m＜ 且m≠0．11、（1）设椭圆方程  ．  解得 ， 所求椭圆方程为 ． 所求椭圆方程为 的坐标为因为点  为椭圆 上的动点所以有  所以中点  13、解：设P点横坐标为x0，则  为钝角．当且仅当 ．14、（1）解：设椭圆方程  ，F（c，0），则直线AB的方程为y=x－c，代入 ，化简得： ，x1x2= 由  =（x1＋x2，y1＋y2）， 共线，得：3（y1＋y2）＋（x1＋x2）=0，又y1=x1－c，y2=x2－c ∴ 3（x1＋x2－2c）＋（x1＋x2）=0，∴ x1＋x2=  即 = ，∴ a2=3b2∴ ，故离心率e= ．（2）证明：由（1）知a2=3b2，所以椭圆 可化为x2＋3y2=3b2设 = （x2，y2），∴  ，∵M ）2＋3（ ）2=3b2即：  ）＋ （ ，a2= 2，b2= c2．x1x2= = 2x1x2＋3y1y2=x1x2＋3（x1－c）（x2－c） =4x1x2－3（x1＋x2）c＋3c2= 2－ 2＋3c2=0又  =3b2代入①得 为定值，定值为1．(责任编辑：admin) |
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）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距
轴、原点．
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