数列的应用问题、数列的极限和数学归纳法_高中学习网-人民教育出版社人教版部编同步解析与测评答案-电子课本资料下载-知识点学习方法与技巧补课解题技巧学习计划表总结-人教网-高中试卷网-中学学科网

    一. 教学内容：
    数列的应用问题、数列的极限和数学归纳法
    二. 教学要求：
    1. 了解数列的一般应用问题，理解“复制”的概念及相关的应用问题，能建立较典型问题的数学模型。
    2. 了解数列极限的概念，掌握极限的四则运算法则，会求某些数列的极限。
    3. 理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
    三. 知识串讲
    1. 零存整取和按揭贷款问题（见例题选讲）
    2. 数列极限的概念

3. 常用的极限

4. 数列极限的运算法则：

    5. 无穷递缩等比数列的各项和
    {an}为等比数列，|q|＜1则称{an}为无穷递缩等比数列。

    6. 求数列极限的常用方法
    ①求分子、分母都含有关于n的代数式或指数式的数列的极限，可将分子分母同除以分母的最高次幂（即无穷小量分出法），再求极限。
    ②利用有理化因子变形；
    ③求和式极限时，一般先求和，再求极限；

    ⑤求含有参数的式子的极限时，注意对参数的值进行分类讨论，分别确定极限是否存在，若存在求出值。
    7. 数学归纳法
    数学归纳法是一种证明与自然数n有关的数学命题的证明方法。
    （1）数学归纳法的步骤：（分三步）
    ①验证n取第一个值n0时命题f(n0)正确。（是递推基础）；
    ②假设n＝k（k∈N，k≥n0）时命题f(k)正确，证明n＝k＋1时命题f(k＋1)也正确。（是递推的依据）；
    ③由①、②可知对任意n≥n0命题f(n)都正确。（结论）。
    （2）用数学归纳法证明命题f(n)时，难点在第二步。即假设n＝k，f(k)成立，推出n＝k＋1时f(k＋1)也成立，在推导中必须用到“归纳假设”，而此步骤证明的是“结构相同”。
    如：用数学归纳法证明

∴等式成立。

则n＝k＋1时

    （与k时的结构相同）
    ∴当n＝k＋1时，等式也成立。

解：由递推公式算出前几项

    再用数学归纳法证明：…
    【典型例题】
    例1. 零存整取和按揭贷款问题
    （1）利息计算：
    ①单利：每期都按初始本金计算利息，当期利息不计入下期本金。
    例如：某人存入银行1万元现金，年利率5%，三年后一次性取出，本利和为多少？

    结论：按单利计算，每期的本利和组成等差数列，按复利计算，每期的本利和组成等比数列。
    （2）零存整取储蓄（单利）本利和计算模型，若每期存入本金P元，每期利率为r，当n期后，本利和为Sn。

P?D贷款 r?D利率 n?D还款期数

    例如：某企业为筹划资金A元，以年利率r每年按复利计算利息。在当年年初借入，前m年这段时间内不还款，从第m＋1年开始每年末按一定的金额a元偿还，并在后继的n年中还清借款的本利和，试求a的表达式。
    解：从借入之日到偿还付清须（m＋n）个年份，故A元的本利和是：
    A(1＋r)^{m n}元 ①
    而偿还金额的本利和是：

    例2. 可化成递推关系的问题。
    （1）等差型递推关系式：

（2）等比型递推关系式：

    ∴该职工第十二个月底有余款700元。
    例3. 甲、乙两企业，2000年的销售量均为P（设2000年为第一年），根据市场分析和

    ①求甲、乙两企业第n年的销售量的表达式；
    ②根据甲、乙两企业所在地的市场规律，如果某企业的年销售量不足另一企业年销售量的20%，则该企业将被另一企业收购。试判断，哪一个企业将被收购？这种情形将在哪一年出现？
    解：设甲企业前n年的总销量为Sn，第n年的销量为an，乙企业第n年的销量为bn，则依题意可得：