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积化和差，指初等数学三角函数部分的一组恒等式。 公式 sinαsinβ=-[cos（α+β）-cos（α-β）]/2【注意右式前的负号】 cosαcosβ=[cos（α+β）+cos（α-β）]/2 sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（α-β）]/2 cosαsinβ=[sin（α+β）-sin（α-β）]/2 证明 法1 积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明。 即只需要把等式右边用两角和差公式拆开就能证明： sinαsinβ=-1/2[-2sinαsinβ] =-1/2[(cosαcosβ-sinαsinβ）-(cosαcosβ+sinαsinβ）] =-1/2[cos（α+β）-cos（α-β）] 其他的3个式子也是相同的证明方法。 （该证明法逆向推导可用于和差化积的计算，参见和差化积） 法2 根据欧拉公式，e^ix=cosx+isinx 令x=a+b 得e ^I（a+b）=e^ia*e^ib=(cosa+isina)(cosb+isinb)=cosacosb-sinasinb+i(sinacosb+sinbcosa)=cos（a+b）+isin（a+b） 所以cos(a+b)=cosacosb-sinasinb sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa 记忆方法 积化和差公式的形式比较复杂，记忆中以下几个方面是难点，下面指出了特点各自的简单记忆方法。 【1】这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。sin和cos的值域都是[-1,1]，其和差的值域应该 是 [-2,2]，而积的值域确是[-1,1]，因此除以2是必须的。 也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相同而造成有系数2，如： cos（α-β）-cos（α+β） =(cosαcosβ+sinαsinβ）-(cosαcosβ-sinαsinβ） =2sinαsinβ 故最后需要除以2。 (责任编辑：admin) |