高考数学试题分类汇编——导数（六）
http://www.newdu.com 2018-11-18 人民教育出版社 佚名 参加讨论
46、（天津文 21）设函数  （ ），其中 ．（Ⅰ）当  时，求曲线 在点 处的切线方程；（Ⅱ）当  时，求函数 的极大值和极小值；（Ⅲ）当  时，证明存在 ，使得不等式 对任意的恒成立．【解答】本小题主要考查运用导数研究函数的性质、曲线的切线方程，函数的极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法．满分14分． （Ⅰ）解：当 时， ，得 ，且 ， ．所以，曲线  在点 处的切线方程是 ，整理得 ．（Ⅱ）解：   ．令  ，解得 或 ．由于 ，以下分两种情况讨论．（1）若  ，当 变化时， 的正负如下表：
因此，函数 在处取得极小值 ，且 ；函数 在处取得极大值 ，且 ．（2）若  ，当变化时，的正负如下表：
因此，函数 在处取得极小值，且；函数 在处取得极大值，且．（Ⅲ）证明：由 ，得 ，当时， ， ．由（Ⅱ）知， 在 上是减函数，要使，只要  即  ①设  ，则函数 在 上的最大值为 ．要使①式恒成立，必须  ，即 或 ．所以，在区间  上存在 ，使得对任意的恒成立．47、（浙江理 22）设  ，对任意实数 ，记 ．（I）求函数  的单调区间；（II）求证：（ⅰ）当  时，  对任意正实数成立；（ⅱ）有且仅有一个正实数  ，使得 对任意正实数成立．【解答】本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力．满分15分． （I）解：  ．由  ，得 ．因为当  时， ，当  时， ，当  时， ，故所求函数的单调递增区间是  ， ，单调递减区间是  ．（II）证明：（i）方法一： 令  ，则 ，当  时，由 ，得 ，当  时， ，所以  在 内的最小值是 ．故当 时，对任意正实数成立．方法二： 对任意固定的 ，令 ，则 ，由  ，得 ．当  时， ．当  时， ，所以当 时， 取得最大值 ．因此当 时， 对任意正实数成立．（ii）方法一：  ．由（i）得，  对任意正实数成立．即存在正实数  ，使得 对任意正实数成立．下面证明 的唯一性：当  ， ， 时， ， ，由（i）得，  ，再取  ，得 ，所以  ，即 时，不满足对任意都成立．故有且仅有一个正实数 ，使得  对任意正实数成立．方法二：对任意 ，，因为  关于的最大值是 ，所以要使 对任意正实数成立的充分必要条件是： ，即  ， ①又因为 ，不等式①成立的充分必要条件是，所以有且仅有一个正实数 ，使得 对任意正实数成立．48、(重庆理 20)已知函数  (x>0)在x = 1处取得极值--3--c，其中a,b,c为常数。（1）试确定a,b的值； （2）讨论函数f(x)的单调区间； （3）若对任意x>0，不等式  恒成立，求c的取值范围。【解答】（I）由题意知  ，因此 ，从而 ．又对 求导得  ．由题意  ，因此 ，解得 ．（II）由（I）知  （），令，解得 ．当  时， ，此时为减函数；当  时， ，此时为增函数．因此 的单调递减区间为 ，而的单调递增区间为 ．（III）由（II）知， 在处取得极小值，此极小值也是最小值，要使 （）恒成立，只需 ．即  ，从而 ，解得  或 ．所以  的取值范围为 ．49、（重庆文20）用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？ 【解答】设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为  .故长方体的体积为  从而  令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1. 当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜  时，V′（x）＜0，故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。 从而最大体积V＝V′（x）＝9×12-6×13（m3），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m. 答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3。 (责任编辑：admin) |
