高考数学试题分类汇编——导数（五）
http://www.newdu.com 2025/09/08 10:09:06 人民教育出版社 佚名 参加讨论
39、（陕西理 20）设函数f(x)=  其中a为实数.(Ⅰ)若f(x)的定义域为R,求a的取值范围; (Ⅱ)当f(x)的定义域为R时，求f(x)的单减区间. 【解答】（Ⅰ）  的定义域为 ， 恒成立， ， ，即当 时的定义域为．（Ⅱ）  ，令 ，得 ．由  ，得 或 ，又 ， 时，由 得 ；当  时， ；当 时，由得 ，即当  时，的单调减区间为 ；当 时，的单调减区间为 ．40、(陕西文21)已知  在区间[0,1]上是增函数,在区间 上是减函数,又 (Ⅰ)求 的解析式;(Ⅱ)若在区间  (m＞0)上恒有≤x成立,求m的取值范围.【解答】（Ⅰ）  ，由已知 ，即  解得  ， ， ， ．（Ⅱ）令  ，即 ， ， 或 ．又 在区间 上恒成立， ．41、(上海理科19)已知函数  ，常数 ．（1）讨论函数 的奇偶性，并说明理由；（2）若函数 在 上为增函数，求 的取值范围．【解答】（1）当  时， ，对任意  ， ，  为偶函数． 当  时， ，取  ，得  ，  ，  函数既不是奇函数，也不是偶函数． （2）解法一：设  ，  ， 要使函数 在上为增函数，必须 恒成立．  ，即 恒成立． 又  ， ． 的取值范围是 ． 解法二：当 时，，显然在 为增函数． 当  时，反比例函数 在为增函数， 在为增函数． 当  时，同解法一． 42、(上海文科19)已知函数 ，常数 ．（1）当  时，解不等式 ；（2）讨论函数 的奇偶性，并说明理由．【解答】（1）  ， ，  ． 原不等式的解为 ． （2）当 时，，对任意 ，， 为偶函数． 当 时，，取 ，得 ， ， 函数既不是奇函数，也不是偶函数． 43、(四川理 22)设函数  .(Ⅰ)当x=6时,求  的展开式中二项式系数最大的项;(Ⅱ)对任意的实数x,证明  ＞ (Ⅲ)是否存在  ,使得an＜ ＜ 恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a的值;若不存在,请说明理由.【解答】本题考察函数、不等式、导数、二项式定理、组合数计算公式等内容和数学思想方法。考查综合推理论证与分析解决问题的能力及创新意识。 （Ⅰ）解：展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是  （Ⅱ）证法一：因       证法二： 因为 而  故只需对  和 进行比较。令  ，有 由  ，得 因为当  时， ， 单调递减；当 时， ，单调递增，所以在处有极小值 故当  时， ，从而有  ，亦即 故有  恒成立。所以  ，原不等式成立。（Ⅲ）对  ，且 有        又因  ，故 ∵ ，从而有 成立，即存在 ，使得恒成立。44、（四川文20）设函数   为奇函数，其图象在点 处的切线与直线 垂直，导函数 的最小值为 ．（Ⅰ）求 ， ， 的值；（Ⅱ）求函数 的单调递增区间，并求函数在 上的最大值和最小值． 【解答】本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能力和运算能力．
所以函数 的单调增区间是 和 ∵  ， ， ∴ 在上的最大值是，最小值是．45、（天津理 20）已知函数  ，其中 ．（Ⅰ）当  时，求曲线 在点 处的切线方程；（Ⅱ）当  时，求函数的单调区间与极值．【解答】本小题考查导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法．满分12分． （Ⅰ）解：当 时， ， ，又  ， ．所以，曲线 在点处的切线方程为 ，即  ．（Ⅱ）解：  ．由于 ，以下分两种情况讨论．（1）当  时，令，得到 ， ．当 变化时， 的变化情况如下表：
所以 在区间 ， 内为减函数，在区间 内为增函数．函数 在处取得极小值 ，且 ，函数 在 处取得极大值 ，且 ．（2）当  时，令，得到 ，当变化时，的变化情况如下表：
所以 在区间 ， 内为增函数，在区间 内为减函数．函数 在 处取得极大值，且．函数 在 处取得极小值，且．(责任编辑：admin) |
的最小值为
．
，列表如下：
