2007年高考数学试题汇编——圆锥曲线（三）
http://www.newdu.com 2018-11-18 人民教育出版社 佚名 参加讨论
14、（四川理）（本小题满分12分）设  、 分别是椭圆 的左、右焦点.（Ⅰ）若  是该椭圆上的一个动点，求 · 的最大值和最小值;（Ⅱ）设过定点  的直线 与椭圆交于不同的两点 、 ，且∠ 为锐角（其中 为坐标原点），求直线的斜率 的取值范围.本题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力。 解：（Ⅰ）解法一：易知  所以  ，设 ，则  因为  ，故当 ，即点为椭圆短轴端点时， 有最小值 当  ，即点为椭圆长轴端点时，有最大值 解法二：易知 ，所以，设，则  （以下同解法一）（Ⅱ）显然直线 不满足题设条件，可设直线 ，联立  ，消去 ，整理得： ∴  由  得： 或 又  ∴  又    ∵  ，即 ∴ 故由①、②得  或 15、（上海理）已知双曲线  ，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为  【解析】双曲线 的中心为O（0,0），该双曲线的左焦点为F（－3,0）则抛物线的顶点为（－3,0），焦点为（0,0），所以p=6，所以抛物线方程是) 16、（上海理）已知半椭圆  与半椭圆 组成的曲线称为“果圆”，其中 ， 是对应的焦点。（1）若三角形  是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；（2）若  ，求 的取值范围；（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦。是否存在实数 ，使得斜率为的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由。解（1）∵F0（c，0）F1（0，  ），F2（0， ）∴| F0F1 |＝  ，| F1F2 |＝ 于是  ， ，所求“果圆”方程为 （x≥0）， （x≤0）． ……4分（2）由题意，得a＋c＞2b，即  ．∵（2b）2＞b2＋c2，∴a2－b2＞（2b－a）2，得  ……7分又b2＞c2＝a2－b2，∴  ．∴  ．（3）设“果圆”的方程为  （x≥0） （x≤0）记平行弦的斜率为k． 当k＝0时，直线y＝t（－b≤t≤b）与半椭圆 （x≥0）的交点是 ，与半椭圆（x≤0）的交点是Q（ ）．∴P、Q的中点M（x，y）满足  得  ．∵a＜2b，∴  ．综上所述，当k＝0时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆……14分 当k＞0时，以k为斜率过B1的直线l与半椭圆 （x≥0）的交点是 由此，在直线l右测，以k为斜率的平行弦的中点轨迹在直线  上，即不在某一椭圆上． ……17分当k＜0时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上． ……18分 17、（上海文）我们把由半椭圆   与半椭圆  合成的曲线称作“果圆”，其中 ， ， ．如图，设点 ，，是相应椭圆的焦点， ， 和 ， 是“果圆” 与 ， 轴的交点， 是线段 的中点．  （1）若  是边长为1的等边三角形，求该“果圆”的方程； （2）设 是“果圆”的半椭圆上任意一点．求证：当 取得最小值时，在点 或 处；（3）若 是“果圆”上任意一点，求取得最小值时点的横坐标．解：（1）   ， ，于是  ，所求“果圆”方程为  ， ． （2）设  ，则  ， ，  的最小值只能在 或 处取到．即当 取得最小值时，在点或处． （3）  ，且 和 同时位于“果圆”的半椭圆 和半椭圆 上，所以，由（2）知，只需研究位于“果圆”的半椭圆 上的情形即可．  ．当  ，即 时，的最小值在 时取到，此时 的横坐标是 ． 当  ，即 时，由于在 时是递减的，的最小值在 时取到，此时的横坐标是 ． 综上所述，若 ，当 取得最小值时，点的横坐标是；若，当取得最小值时，点的横坐标是或 ．18、（陕西文）抛物线  的准线方程是（A）  （B） （C）  （D） 解析：P=  ，准线方程为y= ，即，选B19、（陕西文）已知双曲线C∶  ＞0,b＞0),以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是（A）a (B)b (C)  (D) 解析：圆的半径是（C，0）到渐近线  的距离，所以R= ，选B20、（陕西文）(本小题满分14分)已知椭圆C:  =1(a＞b＞0)的离心率为 ,短轴一个端点到右焦点的距离为 .(Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为  ，求△AOB面积的最大值.解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为  ，依题意  ，所求椭圆方程为 ．（Ⅱ）设  ， ．（1）当  轴时， ．（2）当  与 轴不垂直时，设直线 的方程为 ．由已知  ，得 ．把 代入椭圆方程，整理得 ， ， ．    ．当且仅当  ，即 时等号成立．当 时，，综上所述  ．当 最大时， 面积取最大值 ．21、（山东理）设 是坐标原点， 是抛物线 的焦点，是抛物线上的一点， 与轴正向的夹角为 ，则 为 ． 【分析】：过A 作  轴于D，令 ，则 ， ， 。 (责任编辑：admin) |