2007年高考数学试题汇编──函数与导数（五）
http://www.newdu.com 2025/09/08 10:09:17 人民教育出版社 佚名 参加讨论
36、（全国卷二理）已知函数  ．（1）求曲线  在点 处的切线方程；（2）设  ，如果过点 可作曲线的三条切线，证明： 解：（1）  的导数 ．曲线在点处的切线方程为： ，即 ．（2）如果有一条切线过点 ，则存在 ，使 ．若过点 可作曲线的三条切线，则方程 有三个相异的实数根．记 ，则  ．当 变化时， 变化情况如下表：
由  的单调性，当极大值 或极小值 时，方程 最多有一个实数根；当  时，解方程得 ，即方程只有两个相异的实数根；当  时，解方程得 ，即方程只有两个相异的实数根．综上，如果过 可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则 即 ．37、（全国卷一理）设函数  ．（Ⅰ）证明： 的导数 ；（Ⅱ）若对所有  都有 ，求 的取值范围．解：（Ⅰ） 的导数 ．由于 ，故．（当且仅当  时，等号成立）．（Ⅱ）令  ，则 ，（ⅰ）若  ，当 时， ，故  在 上为增函数，所以， 时， ，即．（ⅱ）若  ，方程 的正根为 ，此时，若  ，则 ，故在该区间为减函数．所以， 时， ，即 ，与题设相矛盾．综上，满足条件的 的取值范围是 ．38、（江西理）如图，函数  的图象与 轴交于点 ，且在该点处切线的斜率为 ．（1）求  和 的值；（2）已知点  ，点 是该函数图象上一点，点 是 的中点，当 ， 时，求 的值． 解：（1）将 ， 代入函数 得 ，因为 ，所以 ．又因为  ， ，，所以 ，因此 ．（2）因为点  ，是的中点，，点的坐标为 ．又因为点 在的图象上，所以 ．因为  ，所以 ，从而得  或 ．即 或 ．39、（湖南理）如图，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点 和居民区 的公路，点所在的山坡面与山脚所在水平面 所成的二面角为（ ），且 ，点到平面的距离 （km）．沿山脚原有一段笔直的公路 可供利用．从点到山脚修路的造价为万元/km，原有公路改建费用为 万元/km．当山坡上公路长度为 km（ ）时，其造价为 万元．已知 ， ， ， ．（I）在 上求一点 ，使沿折线 修建公路的总造价最小；（II）对于（I）中得到的点 ，在 上求一点 ，使沿折线 修建公路的总造价最小．（III）在 上是否存在两个不同的点 ， ，使沿折线 修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价，证明你的结论． 解：（I）如图，  ， ，， 由三垂线定理逆定理知，  ，所以 是山坡与所成二面角的平面角，则 ， ．设 ， ．则   ．记总造价为  万元，据题设有   当  ，即 时，总造价最小．（II）设  ， ，总造价为 万元，根据题设有  ．则  ，由 ，得 ．当  时， ，在 内是减函数；当  时， ，在 内是增函数．故当 ，即 （km）时总造价最小，且最小总造价为 万元．（III）解法一：不存在这样的点 ，．事实上，在 上任取不同的两点，．为使总造价最小，显然不能位于 与 之间．故可设位于与 之间，且 = ， ， ，总造价为 万元，则 ．类似于（I）、（II）讨论知， ， ，当且仅当 ， 同时成立时，上述两个不等式等号同时成立，此时 ， ，取得最小值，点 分别与点 重合，所以不存在这样的点 ，使沿折线修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价．解法二：同解法一得    ．当且仅当 且 ，即 同时成立时，取得最小值，以上同解法一．40、（湖北理）已知定义在正实数集上的函数  ， ，其中．设两曲线， 有公共点，且在该点处的切线相同．（I）用 表示 ，并求的最大值；（II）求证：  （）．本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力． 解：（Ⅰ）设 与 在公共点 处的切线相同． ， ，由题意 ， ．即  由 得： ，或 （舍去）．即有  ．令  ，则 ．于是当  ，即 时， ；当  ，即 时， ．故  在 为增函数，在 为减函数，于是 在 的最大值为 ．（Ⅱ）设  ，则   ．故  在 为减函数，在 为增函数，于是函数 在上的最小值是 ．故当 时，有 ，即当时， ．(责任编辑：admin) |
