2007年广州市高中数学青年教师解题比赛决赛试题
http://www.newdu.com 2018-11-18 人民教育出版社 佚名 参加讨论
第一部分 选择题（共50分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分． 在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．请将答案代号填在答题卷的相应位置上． 1．已知点A（－1，0）、B（1，3），向量  ，若 ，则实数k的值为A．－2 B．－1 C．1 D．2 2．设  ， ， ，则下列关系中正确的是A．  B． C．  D． 3．已知圆  被直线 所截得的弦长为 ，则实数a的值为A．0或4 B．1或3 C．－2或6 D．－1或3 4．已知  为平面，命题p：若  ，则 ；命题q：若 上不共线的三点到 的距离相等，则 ．对以上两个命题，下列结论中正确的是A．命题“p且q”为真 B．命题“p或  ”为假C．命题“p或q”为假 D．命题“  ”且“”为假5．设  ，且 ，则 等于A．  B． C．  D． 6．椭圆  的四个顶点为A、B、C、D，若四边形ABCD的内切圆恰好过椭圆的焦点，则椭圆的离心率是A．  B． C．  D．  7．已知函数  的大致图像如图所示，则函数的解析式应为 A．  B． C．  D． 8．设x，y满足约束条件  则 的取值范围为A．  B． C． D． 9．如图，  所在的平面 和四边形 所在的平面互相垂直，且 ， ，  ， ，若 ，则点 在平面内的轨迹是 A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 10．已知  满足方程 ，则 的最大值是A．4  B．2 C． D．第二部分 非选择题（共100分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分． 请将答案填在答题卷的相应位置上． 11．等差数列有如下性质：若  是等差数列，则数列 也是等差数列．类比上述性质，相应地，若 是正项等比数列，则数列 _______________也是等比数列．12．已知集合  ， ，若 ，则m所能取的一切值构成的集合为 ． 13．在△ABC中，若  ，则 _____________． 14．在四面体ABCD中，已知AB＝CD＝5，AC＝BD＝5，AD＝BC＝6．则四面体ABCD的体积为 ；四面体ABCD外接球的面积为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程. 15．（本小题满分12分） 已知向量  ， ，函数 ．（Ⅰ）求函数  的最小值以及取得最小值时 的值；（Ⅱ）求函数 的单调递增区间．16．（本小题满分12分） 箱中装有12张大小、重量一样的卡片，每张卡片正面分别标有1到12中的一个号码，正面号码为  的卡片反面标的数字是 ．（卡片正反面用颜色区分）（Ⅰ）如果任意取出一张卡片，试求正面数字不大于反面数字的概率； （Ⅱ）如果同时取出两张卡片，试求他们反面数字相同的概率． 17．（本小题满分14分） 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝a，又PA⊥平面ABCD，PA＝4． （Ⅰ）若在边BC上存在一点Q，使PQ⊥QD，求a的取值范围； （Ⅱ）当边BC上存在唯一点Q，使PQ⊥QD时，求二面角A－PD－Q的余弦值．   18．（本小题满分14分） 已知函数  （ ， ）．（Ⅰ）求函数 的极值；（Ⅱ）若函数 有三个不同的零点，求实数 的取值范围．19．（本小题满分14分） 已知点（x，y）在椭圆C：  （ 的第一象限上运动．（Ⅰ）求点  的轨迹 的方程；（Ⅱ）若把轨迹 的方程表达式记为，且在 内有最大值，试求椭圆C的离心率的取值范围．20．（本小题满分14分） 已知正项数列  的前项和 ， ．（Ⅰ）求数列 的通项公式；（Ⅱ）定理：若函数  在区间D上是凹函数，且 存在，则当 时，总有 ．请根据上述定理，且已知函数  是 上的凹函数，判断 与 的大小；（Ⅲ）求证：  ．参考答案 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分． 1．B 2．A 3．D 4．C 5．D 6．C 7．A 8．D 9．B 10．C 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分． 第14题的第一个空2分，第二个空3分． 11．  12． 13． 14． ； ，三、解答题： 15．  ＝1＋2 ……2分＝  ＝  ……4分＝  ……6分（Ⅰ）当  ，即 时，函数取最小值，函数 的最小值是 ． ……9分（Ⅱ）当  ，即 ， 时，函数单调递增，故函数 的单调递增区间为 （）． ……12分16．（Ⅰ）由不等式  ，得 或 ． ……3分由于  ，所以 1，2，3，7，8，9，10，11，12．即共有9张卡片正面数字不大于反面数字， 故所求的概率为  ．答：正面数字不大于反面数字的概率为  ． ……6分（Ⅱ）设取出的是第  号卡片和号卡片（ ），则有  ． ……8分即  ，由，得 ． ……10分故符合条件的取法为1，8；2，7；3，6；4，5． 故所求的概率为  ． 答：反面数字相同的概率为  ． ……12分17．解法1：（Ⅰ）如图，连  ，由于PA⊥平面ABCD，则由PQ⊥QD，必有 ．……2分  设  ，则 ，在  中，有 ．在  中，有 ． ……4分在  中，有 ．即  ，即 ．∴  ．故 的取值范围为 ． ……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当  ， 时，边BC上存在唯一点Q（Q为BC边的中点），使PQ⊥QD． ……8分过Q作QM∥CD交AD于M，则QM⊥AD． ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QM．∴QM⊥平面PAD． 过M作MN⊥PD于N，连结NQ，则QN⊥PD． ∴∠MNQ是二面角A－PD－Q的平面角． ……10分 在等腰直角三角形  中，可求得 ，又 ，进而 ． ……12分∴  ．故二面角A－PD－Q的余弦值为  ． ……14分解法2：（Ⅰ）以  为x、y、z轴建立如图的空间直角坐标系，则  B（0，2，0），C（a，2，0），D（a，0，0）， P（0，0，4）， ……2分 设Q（t，2，0）（  ），则  ＝（t，2，－4）， ＝（t－a，2，0）． ……4分∵PQ⊥QD，∴  ＝0．即 ．∴ ．故 的取值范围为． ……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当 ，时，边BC上存在唯一点Q，使PQ⊥QD．此时Q（2，2，0），D（4，0，0）． ……8分 设  是平面 的法向量，由  ，得 ．取  ，则 是平面的一个法向量． ……10分而  是平面的一个法向量， ……12分由  ．∴二面角A－PD－Q的余弦值为 ． ……14分18．当  ． ……2分令  ，得 ，或 ．且  ，  ． ……6分（Ⅰ）当 时， ．当 变化时，、的变化情况如下表：
……8分 ∴ 当 时，在处，函数有极大值；在处，函数 有极小值． ……10分（Ⅱ）要使函数  有三个不同的零点，必须  ． ……12分解得  ．∴当  时，函数有三个不同的零点． ……14分19．（Ⅰ）设点（  ， ）是轨迹上的动点，∴ ……2分∴ = ， ．∵点（x，y）在椭圆C: （的第一象限上运动，则>0，>0．∴  ．故所求的轨迹 方程是 （ ， ）． ……6分（Ⅱ）由轨迹 方程是（ >0， >0），得 （x>0）．∴    ．所以，当且仅当  ，即 时， 有最大值． ……10分如果在开区间 内有最大值，只有 ． ……12分此时，  ， 解得 ．∴椭圆C的离心率的取值范围是  ． ……14分20．（Ⅰ）  时， 或 ．由于 是正项数列，所以．当  时， ， 整理，得  ．由于 是正项数列，∴ ．∴数列 是以1为首项，1为公差的等差数列． 从而  ，当 时也满足．∴ （ ）． ……4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知  ．对于 上的凹函数 ，有 ．根据定理，得  ． ……6分整理，得  ．令  ，得 ． ……8分∴  ，即 ．∴  ． ……10分（Ⅲ）∵  ，∴  ……12分又由（Ⅱ），得  ．（或  ）∴ ． ……14分(责任编辑：admin) |
