数学概念、方法、题型、易误点技巧总结——圆锥曲线（一）
http://www.newdu.com 2018-11-18 人民教育出版社 佚名 参加讨论
| 湖南省常德市安乡县第五中学 龚光勇收集整理 1.圆锥曲线的两个定义： （1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F  ，F 的距离的和等于常数 ，且此常数一定要大于 ，当常数等于时，轨迹是线段FF，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点F，F的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|FF|，定义中的“绝对值”与＜|FF|不可忽视。若＝|FF|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线，若﹥|FF|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。比如：①已知定点  ，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是 A．  B． C．  D． （答：C）；②方程  表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率  。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。如已知点  及抛物线 上一动点P（x,y）,则y+|PQ|的最小值是_____（答：2）2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在  轴上时 （ ）  （参数方程，其中 为参数），焦点在 轴上时 ＝1（）。方程 表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）。比如：①已知方程  表示椭圆，则 的取值范围为____（答： ）；②若  ，且 ，则 的最大值是____， 的最小值是___（答： ）（2）双曲线：焦点在 轴上： =1，焦点在轴上： ＝1（ ）。方程表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B异号）。比如：①双曲线的离心率等于  ，且与椭圆 有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答： ）；②设中心在坐标原点  ，焦点 、 在坐标轴上，离心率 的双曲线C过点 ，则C的方程为_______（答： ）（3）抛物线：开口向右时  ，开口向左时 ，开口向上时 ，开口向下时 。3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由  ,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程  表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是__（答： ）（2）双曲线：由 ,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F ，F的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数 ，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中， 最大， ，在双曲线中， 最大， 。4.圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（以 （）为例）：①范围： ；②焦点：两个焦点 ；③对称性：两条对称轴 ，一个对称中心（0,0），四个顶点 ，其中长轴长为2，短轴长为2 ；④准线：两条准线 ； ⑤离心率： ，椭圆 ，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。比如：①若椭圆  的离心率 ，则 的值是__（答：3或 ）；②以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答：  ）（2）双曲线（以  （）为例）：①范围： 或 ；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），两个顶点 ，其中实轴长为2，虚轴长为2，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为 ；④准线：两条准线； ⑤离心率：，双曲线 ，等轴双曲线 ，越小，开口越小，越大，开口越大；⑥两条渐近线： 。比如：①双曲线的渐近线方程是  ，则该双曲线的离心率等于______（答： 或 ）；②双曲线  的离心率为 ，则 = （答：4或 ）；③设双曲线  （a>0,b>0）中，离心率e∈[ ,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围是________（答： ）； （3）抛物线（以 为例）：①范围： ；②焦点：一个焦点 ，其中 的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴 ，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线 ； ⑤离心率：，抛物线 。如设  ，则抛物线 的焦点坐标为________（答： ）；5、点  和椭圆（）的关系：（1）点在椭圆外 ；（2）点在椭圆上 ＝1；（3）点在椭圆内 6．直线与圆锥曲线的位置关系： （1）相交：  直线与椭圆相交；  直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。比如：①若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是_______（答：(-  ,-1)）；②直线y―kx―1=0与椭圆  恒有公共点，则m的取值范围是_______（答：[1，5）∪（5，+∞））；③过双曲线  的右焦点直线交双曲线于A、B两点，若│AB︱＝4，则这样的直线有_____条（答：3）；（2）相切：  直线与椭圆相切；直线与双曲线相切；直线与抛物线相切；（3）相离：  直线与椭圆相离；直线与双曲线相离；直线与抛物线相离。特别提醒： （1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点； （2）过双曲线 ＝1外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。比如： ①过点  作直线与抛物线 只有一个公共点，这样的直线有______（答：2）；②过点(0,2)与双曲线  有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为______（答： ）；③过双曲线  的右焦点作直线 交双曲线于A、B两点，若 4，则满足条件的直线有____条（答：3）；④对于抛物线C：  ，我们称满足 的点 在抛物线的内部，若点在抛物线的内部，则直线： 与抛物线C的位置关系是_______（答：相离）；⑤过抛物线  的焦点 作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是 、 ，则 _______（答：1）；⑥设双曲线  的右焦点为，右准线为，设某直线交其左支、右支和右准线分别于 ，则 和 的大小关系为___________(填大于、小于或等于) （答：等于）；⑦求椭圆  上的点到直线 的最短距离（答： ）；⑧直线  与双曲线 交于 、 两点。①当为何值时，、分别在双曲线的两支上？②当为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？（答：① ；② ）；7、焦半径（圆锥曲线上的点P到焦点F的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径  ，其中 表示P到与F所对应的准线的距离。比如：①已知椭圆  上一点P到椭圆左焦点的距离为3，则点P到右准线的距离为____（答： ）；②已知抛物线方程为  ，若抛物线上一点到轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于____；③若该抛物线上的点  到焦点的距离是4，则点的坐标为_____（答： ）；④点P在椭圆  上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标为_______（答： ）；⑤抛物线  上的两点A、B到焦点的距离和是5，则线段AB的中点到轴的距离为______（答：2）；⑥椭圆  内有一点 ，F为右焦点，在椭圆上有一点M，使 之值最小，则点M的坐标为_______（答： ）；(责任编辑：admin) |