数学概念、方法、题型、易误点技巧总结——直线和圆
http://www.newdu.com 2018-11-18 人民教育出版社 佚名 参加讨论
| 湖南省常德市安乡县第五中学 龚光勇收集整理 1．直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与  轴相交的直线 ，如果把轴绕着交点按逆时针方向转到和直线重合时所转的最小正角记为 ，那么就叫做直线的倾斜角。当直线与轴重合或平行时，规定倾斜角为0；（2）倾斜角的范围 。比如：（1）直线  的倾斜角的范围是____（答： ）；（2）过点  的直线的倾斜角的范围 值的范围是______（答： ）2．直线的斜率： （1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率  ，即＝tan(≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；（2）斜率公式：经过两点  、 的直线的斜率为 ；（3）直线的方向向量  ，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？（4）应用：证明三点共线：  。如(1) 两条直线钭率相等是这两条直线平行的____________条件（答：既不充分也不必要）；（2）实数  满足 ( )，则 的最大值、最小值分别为______（答： ）3．直线的方程： （1）点斜式：已知直线过点  斜率为，则直线方程为 ,它不包括垂直于轴的直线。（2）斜截式：已知直线在  轴上的截距为 和斜率，则直线方程为 ,它不包括垂直于轴的直线。（3）两点式：已知直线经过 、两点，则直线方程为 ，它不包括垂直于坐标轴的直线。（4）截距式：已知直线在 轴和轴上的截距为 ,则直线方程为 ，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。（5）一般式：任何直线均可写成  (A,B不同时为0)的形式。如（1）经过点（2，1）且方向向量为  =(－1, )的直线的点斜式方程是___________（答： ）；（2）直线 ，不管 怎样变化恒过点______（答： ）；（3）若曲线 与 有两个公共点，则 的取值范围是_______（答： ）提醒：(1)直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？）；(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等  直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等直线的斜率为 或直线过原点。如过点  ，且纵横截距的绝对值相等的直线共有___条（答：3）4．设直线方程的一些常用技巧： （1）知直线纵截距 ，常设其方程为；（2）知直线横截距  ，常设其方程为 (它不适用于斜率为0的直线)；（3）知直线过点 ，当斜率存在时，常设其方程为 ，当斜率不存在时，则其方程为 ；（4）与直线  平行的直线可表示为 ；（5）与直线 垂直的直线可表示为 .提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。 5．点到直线的距离及两平行直线间的距离： （1）点  到直线的距离 ；（2）两平行线  间的距离为 。6．直线  与直线 的位置关系：（1）平行  （斜率）且 （在轴上截距）；（2）相交  ；（3）重合 且 。提醒：（1）  、 、 仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件！为什么？（2）在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线；（3）直线与直线垂直 。如（1）设直线  和 ，当＝_______时 ∥ ；当＝________时 ；当_________时与相交；当＝_________时与重合（答：－1； ； ；3）；（2）已知直线的方程为 ，则与平行，且过点（—1，3）的直线方程是______（答： ）；（3）两条直线 与 相交于第一象限，则实数的取值范围是____（答： ）；（4）设 分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线 与 的位置关系是____（答：垂直）；（5）已知点是直线 上一点，是直线外一点，则方程 ＝0所表示的直线与的关系是____（答：平行）；（6）直线过点（１，０），且被两平行直线 和 所截得的线段长为9，则直线的方程是________（答： ）7．到角和夹角公式：（1） 到的角是指直线绕着交点按逆时针方向转到和直线重合所转的角 ， 且tan= ( )；（2）与的夹角是指不大于直角的角 且tan=︱︱()。提醒：解析几何中角的问题常用到角公式或向量知识求解。 如已知点M是直线  与轴的交点，把直线绕点M逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是______（答：）8．对称（中心对称和轴对称）问题——代入法：比如： （1）已知点  与点 关于轴对称，点P与点N关于轴对称，点Q与点P关于直线 对称，则点Q的坐标为_______（答： ）；（2）已知直线 与的夹角平分线为 ，若的方程为 ，那么的方程是___________（答： ）；（3）点A（４，５）关于直线 的对称点为B(－2,7)，则的方程是_________（答： ）；（4）已知一束光线通过点A（－３，５），经直线 :3x－4y+4=0反射。如果反射光线通过点B（２，15），则反射光线所在直线的方程是_________（答： ）；（5）已知ΔABC顶点A(3，－１)，AB边上的中线所在直线的方程为6x+10y－59=0，∠B的平分线所在的方程为x－4y+10=0，求BC边所在的直线方程（答：  ）；（6）直线2x―y―4=0上有一点Ｐ，它与两定点A（4,－1）、B（3,4）的距离之差最大，则Ｐ的坐标是______（答：（5,6））； （7）已知  轴， ，C（2，1）， 周长的最小值为______（答： ）。提醒：在解几中遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解。 9．简单的线性规划： （1）二元一次不等式表示的平面区域：①法一：先把二元一次不等式改写成  或 的形式，前者表示直线的上方区域，后者表示直线的下方区域；法二：用特殊点判断；②无等号时用虚线表示不包含直线，有等号时用实线表示包含直线；③设点 ， ，若 与 同号，则P，Q在直线的同侧，异号则在直线的异侧。如已知点A（—2，4），B（4，2），且直线  与线段AB恒相交，则的取值范围是__________（答： ）（2）线性规划问题中的有关概念： ①满足关于 的一次不等式或一次方程的条件叫线性约束条件。②关于变量 的解析式叫目标函数，关于变量一次式的目标函数叫线性目标函数；③求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题； ④满足线性约束条件的解（ ）叫可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域；⑤使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解； （3）求解线性规划问题的步骤是什么？①根据实际问题的约束条件列出不等式；②作出可行域，写出目标函数；③确定目标函数的最优位置，从而获得最优解。比如： ①线性目标函数z=2x－y在线性约束条件  下，取最小值的最优解是____（答：（－1，1））；②点（－２，  ）在直线2x－3y+6=0的上方，则的取值范围是_________（答： ）；③不等式  表示的平面区域的面积是_________（答：8）；④如果实数 满足 ，则 的最大值_________（答：21）（4）在求解线性规划问题时要注意：①将目标函数改成斜截式方程；②寻找最优解时注意作图规范。 10．圆的方程： ⑴圆的标准方程：  。⑵圆的一般方程：  ，特别提醒：只有当 时，方程 才表示圆心为 ，半径为 的圆（二元二次方程 表示圆的充要条件是什么？ （ 且 且 ））；⑶圆的参数方程：  （为参数），其中圆心为 ，半径为 。圆的参数方程的主要应用是三角换元： ；  。⑷  为直径端点的圆方程 比如： （1）圆C与圆  关于直线 对称，则圆C的方程为____________（答： ）；（2）圆心在直线  上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________（答： 或 ）；（3）已知  是圆 （为参数， 上的点，则圆的普通方程为________，P点对应的值为_______，过P点的圆的切线方程是___________（答： ； ； ）；（4）如果直线 将圆：x2+y2-2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么的斜率的取值范围是____（答：[0，2]）；（5）方程x2+y２－x+y+k=0表示一个圆，则实数k的取值范围为____（答：  ）；（6）若  （为参数， ， ，若 ，则b的取值范围是_________（答： ）11．点与圆的位置关系：已知点  及圆 ，（1）点M在圆C外 ；（2）点M在圆C内 ；（3）点M在圆C上  。如点P(5a+1,12a)在圆(x－１)２＋y2=1的内部,则a的取值范围是______（答：  ）12．直线与圆的位置关系：直线 和圆  有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断：（1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）： 相交； 相离； 相切；（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为 ，则 相交； 相离； 相切。提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。比如： （1）圆  与直线  ， 的位置关系为____（答：相离）；（2）若直线  与圆 切于点 ，则 的值____（答：2）；（3）直线  被曲线  所截得的弦长等于 （答： ）；（4）一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是 （答：4）； （5）已知  是圆 内一点，现有以 为中点的弦所在直线和直线 ，则A．  ，且与圆相交 B． ，且与圆相交 C． ，且与圆相离 D．，且与圆相离（答：C）；（6）已知圆C：  ，直线L： 。①求证：对 ，直线L与圆C总有两个不同的交点；②设L与圆C交于A、B两点，若 ，求L的倾斜角；③求直线L中，截圆所得的弦最长及最短时的直线方程. （答：② 或 ③最长： ，最短： ）13．圆与圆的位置关系（用两圆的圆心距与半径之间的关系判断）：已知两圆的圆心分别为  ，半径分别为 ，则（1）当 时，两圆外离；（2）当 时，两圆外切；（3）当 时，两圆相交；（4）当 时，两圆内切；（5）当 时，两圆内含。如双曲线  的左焦点为F1，顶点为A1、A2，P是双曲线右支上任意一点，则分别以线段PF1、A1A2为直径的两圆位置关系为 （答：内切）14．圆的切线与弦长： (1) 切线： ①过圆  上一点 圆的切线方程是： ，过圆 上一点 圆的切线方程是： ，一般地，如何求圆的切线方程？（抓住圆心到直线的距离等于半径）；②从圆外一点引圆的切线一定有两条，可先设切线方程，再根据相切的条件，运用几何方法（抓住圆心到直线的距离等于半径）来求；③过两切点的直线（即“切点弦”）方程的求法：先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆，该圆与已知圆的公共弦就是过两切点的直线方程； ③切线长：过圆 （）外一点所引圆的切线的长为 （ ）；如设A为圆  上动点，PA是圆的切线，且|PA|=1，则P点的轨迹方程为__________（答： ）；（2）弦长问题：①圆的弦长的计算：常用弦心距 ，弦长一半 及圆的半径所构成的直角三角形来解： ；②过两圆 、 交点的圆(公共弦)系为 ，当 时，方程为两圆公共弦所在直线方程.。15．解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)。 (责任编辑：admin) |