数学概念、方法、题型、易误点技巧总结——三角函数(一)
http://www.newdu.com 2018-11-18 人民教育出版社 佚名 参加讨论
| 湖南省常德市安乡县第五中学 龚光勇收集整理 1．角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 2．象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与  轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。3．终边相同的角的表示： （1）  终边与 终边相同(的终边在终边所在射线上)  ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等。如与角  的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。（答： ； ）（2） 终边与终边共线(的终边在终边所在直线上)  。（3） 终边与终边关于轴对称 。（4） 终边与终边关于 轴对称 。（5） 终边与终边关于原点对称 。（6）  终边在轴上的角可表示为： ；终边在轴上的角可表示为： ；终边在坐标轴上的角可表示为： 。如 的终边与 的终边关于直线 对称，则＝____________。（答： ）4． 与 的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定。如若 是第二象限角，则 是第_____象限角（答：一、三）5．弧长公式：  ，扇形面积公式： ，1弧度(1rad) 。如已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。（答：2  ）6．任意角的三角函数的定义：设 是任意一个角，P 是的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是 ，那么 ， ，  ，  ， 。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关。 如（1）已知角 的终边经过点P(5，－12)，则 的值为＿＿。（答： ）；（2）设是第三、四象限角， ，则 的取值范围是_______（答：（－1， ）；（3）若 ，试判断 的符号（答：负）7．三角函数线的特征是：正弦线MP“站在 轴上(起点在轴上)”、余弦线OM“躺在轴上(起点是原点)”、正切线AT“站在点 处(起点是 )”.三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。 如（1）若  ，则 的大小关系为_____(答： )；（2）若为锐角，则 的大小关系为_______ （答： ）；（3）函数 的定义域是_______（答： ）8．特殊角的三角函数值：  9 同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系：  （2）倒数关系：sin csc=1,cossec=1,tancot=1,（3）商数关系：  同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值。在运用平方关系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，尽可能地压缩角的范围，以便进行定号；在具体求三角函数值时，一般不需用同角三角函数的基本关系式，而是先根据角的范围确定三角函数值的符号，再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。比如： （1）函数  的值的符号为____（答：大于0）；（2）若  ，则使 成立的的取值范围是____（答：   ）；（3）已知  ， ，则 ＝____（答： ）；（4）已知  ，则 ＝____； ＝_________（答： ； ）；（5）已知  ，则 等于 A、  B、 C、 D、 （答：B）；（6）已知  ，则 的值为______（答：－1）。10．三角函数诱导公式（  ）的本质是：奇变偶不变（对 而言，指取奇数或偶数），符号看象限（看原函数，同时可把看成是锐角）.诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：（1）负角变正角，再写成2k +, ；(2)转化为锐角三角函数。比如：（1）  的值为________（答： ）；（2）已知  ，则 ______，若为第二象限角，则  ________。（答： ； ）11．两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：   比如： （1）下列各式中，值为  的是 A、  B、 C、 D、 （答：C）；（2）命题P：  ，命题Q： ，则P是Q的 A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件（答：C）； （3）已知  ，那么 的值为____（答： ）；（4）  的值是______（答：4）；(5)已知  ，求 的值（用a表示）甲求得的结果是 ，乙求得的结果是 ，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______（答：甲、乙都对）12． 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有: （1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.。 如  ， ， ， ， 等），比如：①已知  ， ，那么 的值是_____（答： ）；②已知  ，且 ， ，求 的值（答： ）；③已知  为锐角， ， ，则与的函数关系为______（答： ）(2)三角函数名互化(切割化弦)，比如： ①求值  （答：1）；②已知  ，求 的值（答： ）(3)公式变形使用（   。比如：①已知A、B为锐角，且满足  ，则 ＝_____（答： ）；②设  中， ， ，则此三角形是____三角形（答：等边）(4)三角函数次数的降升(降幂公式：  ， 与升幂公式： ， )。比如：①若  ，化简 为_____（答： ）；②函数   的单调递增区间为___________（答： ）(5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。比如： ①   （答： ）；②求证：  ；③化简：  （答： ）(6)常值变换主要指“1”的变换（    等）。如已知  ，求 （答： ）。(7)正余弦“三兄妹—  ”的内存联系――“知一求二”，比如：①若  ，则 __（答： )；特别提醒：这里  ；②若  ，求 的值。（答： ）；③已知   ，试用表示 的值（答： ）。13．辅助角公式中辅助角的确定：  (其中角所在的象限由a, b的符号确定，角的值由 确定)在求最值、化简时起着重要作用。比如：（1）若方程  有实数解，则 的取值范围是___________.（答：[－2,2]）；（2）当函数  取得最大值时， 的值是______(答： )；（3）如果  是奇函数，则 = (答：－2)；（4）求值：  ________(答：32)14．正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数  和余弦函数 图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0， 的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。(责任编辑：admin) |