高一数学教案：函数的基本概念(2)
http://www.newdu.com 2025/05/25 03:05:10 新东方在线编辑整理 佚名 参加讨论
3. 函数的表示：一个函数可以通过其解析式来表示，也可以通过列表来表示，还可以通过图像来表示。用图像来表示函数就是以自变量为横坐标，因变量为纵坐标，点(x，y )的集合即为函数y= f(x)的图像，{(x，y) }∣y=.f(x)，x∈'D}，求函数定义域时，一般应考虑：①实际问题的背景所允许的取值范围，如时间变量一般不取负值;②使函数表达式有意义的取值范围，如分式的分母不能为零，偶次根式的被开方数要大于等于零及某些函数对本身自变量的要求等等。 求函数值域的常用方法有：①利用函数解析式和函数图像观察而得;②利用不等式的性质而得;③利用二次函数的最大值或最小值而得;④利用函数式的变形和自变量的取值范围而得。 例题精选 一、如何判断函数是否相同 例1 判断下列敛足函数是否相同： (1)D={0，1}，y=f1(x)=x;y=f2(x)=x2;y=f3(x)=x3。 (2)D={0，1，2，3}，y=f1(x)=2x;y=f2(x)= 。 【思路剖析】要判断两个函数是否相同，主要通过函数的定义域、值域、对应法则三方面去考虑。 【解答】(1)因为f1(0)=f2(0)=f3(0);f1(1)=f2(1)=f3(1)，所以这三个函数的定义域、值域、对应法则都一样。所以这三个函数都是相等的。 (2)通过观察， 说明定义域是一样的， 这说明这两个函数的对应法则和值域也是相同的.所以这两个函数相同. 【反思】很多同学很难接受这两个函数是相同的，但事实上它们确实是相同的，很多同学通过其解析式不一样，就认为它们不相同，这种观点是错误的。认为解析式就是对应法则，这也是不完全的.对于对应法则要看本质，不能只看表面，停留在只考虑其解析式的表面形式上，而是要看对应法则的本质。 如果本例第(2)题的条件改变一下：D1=D2= {0，1，2，3，4}。 这时f1 (4)=16， f2(4)=15，可以看出对应法则不一样了，故这两个函数就不相同了。 例2 下列各组函数中表示相同函数的是那几组，其余各组为什么不是相同的函数? (1)f(x)=|x|与g(x)= ; (2)f(x)=1与g(x)=x0; (3)f(x)=x，x∈{0，1}与f(t)=t2，t∈{0，1}。 【解答】(1)、(4)、(5)是相同函数。(2)、(3)不是同一函数。 在(2)组中，前者定义域是R，后者定义域是(-∞，1)∪(1，+∞);在(3)中，前者的定义域是(3，+∞)，后者的定义域是(-∞，-3]∪(3，+∞)，由于两函数的定义域不同所以不是同一函数。 二、定义域问题 例3求下列函数的定义域： 【思路剖析】如果只给出函数的解析式y=f(x)，而未指明定义域，那么这个函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数x的集合。 【解答】(1)函数的定义域由不等式组 所确定。解得-4 ∴函数 的定义域是(-4，2]。 (2)函数的定义域由不等式3x-1-2x2>0确定。解得 。 ∴函数 的定义域是( ，1)。 (3)函数的定义域由不等式组 确定。解得x≤ ，且 。 ∴函数 的定义域是(-∞， )∪( ， )。 (4)函数的定义域由不等式组 确定，解得x∈(0，1]∪[5，+∞)。 ∴函数 的定义域是(-∞， )∪( ，3)。 (5)函数的定义域由不等式组 确定，解得x∈[-2，1)∪(1，5]， ∴函数y 的定义域是[-2，1)∪(1，5]。 (6)函数的定义域由不等式组 确定，解得x=1， ∴函数 的定义域是{1}。 例4若函数 的定义域是[0，2]，分别求函数 和 的定义域。 (责任编辑：admin) |
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