利用数学思想处理三角函数问题
http://www.newdu.com 2025/02/07 10:02:11 互联网 佚名 参加讨论
1. 数形结合思想 体现在三角函数中是利用单位圆中三角函数线、三角函数图象求三角函数定义域、解三角不等式、求单调区间、讨论方程实根的个数、比较大小等。 例1.  从小到大的顺序是___________。解析：这些角都不是特殊角，求出值来再比较行不通，若注意到  相差较大，容易利用单位圆上的三角函数线区分它们各自函数值的大小。设  （如图所示） 可知  应填 的定义域是____________。解析：该函数定义域即不等式组  的解集，即 的解集，若用传统方法则要求 的交集，不太方便。若画出  的图象（如图所示）由  ，易得 2. 转化与化归思想 体现在三角函数中是切割化弦、统一角、统一函数名称、换元等手段处理求值（域）、最值、比较大小等问题。 例3. 若  B.  D.  的大小比较就容易多了。因为  又因为 ，所以 的值域。解析：先切割化弦，统一函数名称，得：  令   于是求原函数的值域转化为求函数 的值域，易得 ，所以原函数的值域为 。3. 函数与方程思想的应用 体现在三角函数中是用函数的思想求解范围问题，用方程的思想解决求值、证明等问题。 例5. 已知函数  分离a得：  问题转化为求a的值域。 因为  所以  故当  时， 有实数解。例6. 已知  ，求 的值。解法1：只需求α的某个三角函数或α的值，又只需用倍角公式把已知条件“缩角升幂”转化为解三角方程。 由倍角公式，原方程化为：  由  解法2：可以将原方程配方转化得： 即  因为  则  所以只有  解得  ，求 的值。解析：由已知条件得： 即  因为  所以  所以 即求 的符号要展开讨论：（1）当  所以  ；（2）当  所以 ；综上  5. 分析与综合的思想 体现在三角函数中是把多边形分割为三角形，把求某值转化为求另外的值等，然后依据分析结果，综合写出求解过程。 例8. 设  的取值范围是_____________。解析：运用分析与综合的思想方法，先分析x的取值范围，再综合求  则  即  所以填  。而两个三角形的两边已知，只须求得已知两边的夹角 的正弦值，又 ，只需求得其中一个角 的正弦值或余弦值，解题从求余弦值开始，连结BD，在△ABD中，由余弦定理，得：  在△CBD中，同理得：  所以  化简得  又因为  所以  且  则 6. 整体思想的应用 体现在三角函数中主要是整体代入、整体变形、整体换元、整体配对、整体构造等进行化简求值、研究函数性质等。 例10. 已知 <0" >  （1）求<1" >  的值；（2）求  的值。解析：由条件和问题联想到公式 ，可实施整体代换求值。（1）由  平方，得： 即  因为  又因为  所以  故  （2） (责任编辑：admin) |
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