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椭圆的方程

http://www.newdu.com 2025/05/19 03:05:42 互联网 佚名 参加讨论


    一、教学内容：椭圆的方程
    高考要求：理解椭圆的标准方程和几何性质．
    重点：椭圆的方程与几何性质．
    难点：椭圆的方程与几何性质．
    二、知识点：
    1、椭圆的定义、标准方程、图形和性质
    

     定 义
    
     第一定义：平面内与两个定点 ）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距
    
     第二定义：
    
     平面内到动点距离与到定直线距离的比是常数e．（0<e<1）
    

      
    
     标
    
     准
    
     方
    
     程
    
     焦点在x轴上
    
    
    
     焦点在y轴上
    
    
    

      
    
     图 形
    
     焦点在x轴上
    
    
    
     焦点在y轴上
    
    
    

      
    
      
    
     性 质
    
     焦点在x轴上
    
     范 围：
    
     对称性： 轴、 轴、原点．
    
     顶点： ， ．
    
     离心率：e
    
     概念：椭圆焦距与长轴长之比
    
     定义式：
    
     范围：
    
      
    

    2、椭圆中a，b，c，e的关系是：（1）定义：r1＋r2=2a
    （2）余弦定理： ＋ －2r1r2cos（3）面积： = r1r2 sin ?2c| y0 |（其中P（ ）
    三、基础训练：
    1、椭圆 的标准方程为 ，焦点坐标是 ，长轴长为___2____，短轴长为2、椭圆 的值是__3或5__；
    3、两个焦点的坐标分别为 ___；
    4、已知椭圆 上一点P到椭圆一个焦点 的距离是7，则点P到另一个焦点5、设F是椭圆的一个焦点，B1B是短轴， ，则椭圆的离心率为6、方程 =10，化简的结果是 ；
    满足方程7、若椭圆短轴上是椭圆内的一点，点P（x，y）（x≥0）是椭圆上的一个动点，则 的最大值是 8 ．
    【典型例题】
    例1、（1）已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，短轴长为4，求椭圆的方程．
    解：设方程为 ．
    所求方程为
    （2）中心在原点，焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到右顶点的距离为1，求椭圆的方程．
    解：设方程为 ．
    所求方程为（3）已知三点P，（5，2），F1 （-6，0），F2 （6，0）．设点P，F1，F2关于直线y=x的对称点分别为 ，求以 为焦点且过点 的椭圆方程 ．
    解：（1）由题意可设所求椭圆的标准方程为 ∴所以所求椭圆的标准方程为（4）求经过点M（ ， 1）的椭圆的标准方程．
    解：设方程为
    例2、如图所示，我国发射的第一颗人造地球卫星运行轨道是以地心（地球的中心） 为一个焦点的椭圆，已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面439km，远地点B（离地面最远的点）距地面2384km，并且 、A、B在同一直线上，设地球半径约为6371km，求卫星运行的轨道方程 （精确到1km）．
    解：建立如图所示直角坐标系，使点A、B、 在 轴上，
    则 =|OA|－|O |=| A|=6371＋439=6810
    解得 =7782.5， =972.5
     ．
    卫星运行的轨道方程为
    
    例3、已知定圆
    分析：由两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值 根据图形，用数学符号表示此结论：
    上式可以变形为 ，又因为 ，所以圆心M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆
    解：知圆可化为：圆心Q（3，0），
    设动圆圆心为 ，则 为半径 又圆M和圆Q内切，所以 ，
    即 ，故M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆，且PQ中点为原点，所以 ，故动圆圆心M的轨迹方程是：
    
    例4、已知椭圆的焦点是 ｜和｜（1）求椭圆的方程；
    （2）若点P在第三象限，且∠ =120°，求 ．
    选题意图：综合考查数列与椭圆标准方程的基础知识，灵活运用等比定理进行解题．
    解：（1）由题设｜ ｜=2｜ ｜=4
    ∴ ， 2c=2， ∴ｂ=∴椭圆的方程为 ．
    （2）设∠ ，则∠ =60°－θ
    由正弦定理得：
    由等比定理得：
    
    整理得： 故
     ．
    
    说明：曲线上的点与焦点连线构成的三角形称曲线三角形，与曲线三角形有关的问题常常借助正（余）弦定理，借助比例性质进行处理．对于第二问还可用后面的几何性质，借助焦半径公式余弦定理把P点横坐标先求出来，再去解三角形作答
    例5、如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向 轴作垂线段PP?@，求线段PP?@的中点M的轨迹（若M分 PP?@之比为 ，求点M的轨迹）
    解：（1）当M是线段PP?@的中点时，设动点 ，则 的坐标为
    因为点 在圆心为坐标原点半径为2的圆上，
    所以有 所以点
    
    （2）当M分 PP?@之比为 时，设动点 ，则 的坐标为
    因为点 在圆心为坐标原点半径为2的圆上，所以有 ，
    即所以点
    
    例6、设向量 =（1， 0）， =（x＋m） ＋y =（x－m） ＋y |＋| （I）求动点P（x，y）的轨迹方程；
    （II）已知点A（－1， 0），设直线y= （x－2）与点P的轨迹交于B、C两点，问是否存在实数m，使得 ？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
    解：（I）∵ =（1， 0）， =（0， 1）， | =6
    上式即为点P（x， y）到点（－m， 0）与到点（m， 0）距离之和为6．记F1（－m， 0），F2（m， 0）（0<m<0），则|F1F2|=2m＜6．
    ∴ |PF1|＋|PF2|=6＞|F1F2|
    又∵x＞0，∴P点的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆的右半部分．
    ∵ 2a=6，∴a=3
    又∵ 2c=2m，∴ c=m，b2=a2－c2=9－m2
    ∴ 所求轨迹方程为 （x＞0，0＜m＜3）
    （ II ）设B（x1， y1），C（x2， y2），
    ∴∴ 而y1y2= （x1－2）? （x2－2）
    = [x1x2－2（x1＋x2）＋4]
    ∴ [x1x2－2（x1＋x2）＋4]
    = [10x1x2＋7（x1＋x2）＋13]
    若存在实数m，使得 成立
    则由 [10x1x2＋7（x1＋x2）＋13]=
    可得10x1x2＋7（x1＋x2）＋10=0 ①
    再由
    消去y，得（10－m2）x2－4x＋9m2－77=0 ②
    因为直线与点P的轨迹有两个交点．
    所以
    由①、④、⑤解得m2= ＜9，且此时△＞0
    但由⑤，有9m2－77= ＜0与假设矛盾
    ∴ 不存在符合题意的实数m，使得
    例7、已知C1： ，抛物线C2：（y－m）2=2px （p＞0），且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点．
    （Ⅰ）当AB⊥x轴时，求p、m的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上；
    （Ⅱ）若p= ，且抛物线C2的焦点在直线AB上，求m的值及直线AB的方程．
    解：（Ⅰ）当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m=0，直线AB的方程为x=1，从而点A的坐标为（1， ）或（1，－ ）．
    ∵点A在抛物线上，∴
    此时C2的焦点坐标为（ ，0），该焦点不在直线AB上．
    （Ⅱ）当C2的焦点在AB上时，由（Ⅰ）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k（x－1）．
    由 （kx－k－m）2= ①
    因为C2的焦点F´（ ，m）在y=k（x－1）上．
    所以k2x2－ （k2＋2）x＋ =0 ②
    设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2=
    由
    （3＋4k2）x2－8k2x＋4k2－12=0 ③
    由于x1、x2也是方程③的两根，所以x1＋x2=
    从而 = k2=6即k=±
    又m=－ ∴m= 或m=－
    当m= 时，直线AB的方程为y=－ （x－1）；
    当m=－ 时，直线AB的方程为y= （x－1）．
    例8、已知椭圆C： （a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为e．直线l：y=ex＋a与x轴，y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设 = ．
    （Ⅰ）证明：（Ⅱ）若 ，△MF1F2的周长为6，写出椭圆C的方程；
    （Ⅲ）确定解：（Ⅰ）因为A、B分别为直线l：y=ex＋a与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是A（－ ，0），B（0，a）．
    由 得 这里∴M = ，a）
    即 解得
    （Ⅱ）当 时， ∴a=2c
    由△MF1F2的周长为6，得2a＋2c=6
    ∴a=2，c=1，b2=a2－c2=3
    故所求椭圆C的方程为
    （Ⅲ）∵PF1⊥l ∴∠PF1F2=90°＋∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，即 |PF1|=C．
    设点F1到l的距离为d，由
     |PF1|= =得： =e ∴e2= 于是
    即当（注：也可设P（x0，y0），解出x0，y0求之）
    【模拟试题】
    一、选择题
    1、动点M到定点 和 的距离的和为8，则动点M的轨迹为 （ ）
    A、椭圆 B、线段 C、无图形 D、两条射线
    2、设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 （ ）
    A、 C、2－ －1
    3、（2004年高考湖南卷）F1、F2是椭圆C： 的焦点，在C上满足PF1⊥PF2的点P的个数为（ ）
    A、2个 B、4个 C、无数个 D、不确定
    4、椭圆 的左、右焦点为F1、F2，一直线过F1交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为 （ ）
    A、32 B、16 C、8 D、4
    5、已知点P在椭圆（x－2）2＋2y2=1上，则 的最小值为（ ）
    A、 C、
    6、我们把离心率等于黄金比 是优美椭圆，F、A分别是它的左焦点和右顶点，B是它的短轴的一个端点，则 等于（ ）
    A、 C、
    二、填空题
    7、椭圆 的顶点坐标为 和 ，焦点坐标为 ，焦距为 ，长轴长为 ，短轴长为 ，离心率为 ，准线方程为 ．
    8、设F是椭圆 的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点Pi（i=1，2， ），使得|FP1|、|FP2|、|FP3|…组成公差为d的等差数列，则d的取值范围是 ．
    9、设 ， 是椭圆 的两个焦点，P是椭圆上一点，且 ，则得 ．
    10、若椭圆 =1的准线平行于x轴则m的取值范围是
    三、解答题
    11、根据下列条件求椭圆的标准方程
    （1）和椭圆 共准线，且离心率为 ．
    （2）已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为 和 ，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点．
    12、已知 轴上的一定点A（1，0），Q为椭圆 上的动点，求AQ中点M的轨迹方程
    13、椭圆 的焦点为 =（3， －1）共线．
    （1）求椭圆的离心率；
    （2）设M是椭圆上任意一点，且 = 、 ∈R），证明 为定值．
    
    【试题答案】
    1、B
    2、D
    3、A
    4、B
    5、D（法一：设 ，则y=kx代入椭圆方程中得：（1＋2k2）x2－4x＋3=0，由△≥0得： ．法二：用椭圆的参数方程及三角函数的有界性求解）
    6、C
    7、（ ；（0， ）；6；10；8； ； ．
    8、 ∪
    9、
    10、m＜ 且m≠0．
    11、（1）设椭圆方程 ．
     解得 ， 所求椭圆方程为（2）由 ．
     所求椭圆方程为 的坐标为
    因为点 为椭圆 上的动点
    所以有
    所以中点
    
    13、解：设P点横坐标为x0，则 为钝角．当且仅当 ．
    14、（1）解：设椭圆方程 ，F（c，0），则直线AB的方程为y=x－c，代入 ，化简得：
     ，
    x1x2=
    由 =（x1＋x2，y1＋y2）， 共线，得：3（y1＋y2）＋（x1＋x2）=0，
    又y1=x1－c，y2=x2－c
    ∴ 3（x1＋x2－2c）＋（x1＋x2）=0，∴ x1＋x2=
    即 = ，∴ a2=3b2
    ∴ ，故离心率e= ．
    （2）证明：由（1）知a2=3b2，所以椭圆 可化为x2＋3y2=3b2
    设 = （x2，y2），∴ ，
    ∵M∴ （ ）2＋3（ ）2=3b2
    即： ）＋ （由（1）知x1＋x2= ，a2= 2，b2= c2．
    x1x2= = 2
    x1x2＋3y1y2=x1x2＋3（x1－c）（x2－c）
    =4x1x2－3（x1＋x2）c＋3c2= 2－ 2＋3c2=0
    又 =3b2代入①得
     为定值，定值为1．
     (责任编辑：admin)



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