错解剖析得真知（二十）
http://www.newdu.com 2025/05/19 02:05:29 人民教育出版社 佚名 参加讨论
错解剖析得真知（二十） 第七章 平面解析几何初步 §7.1直线和圆的方程 一、知识导学 1．两点间的距离公式:不论A(  1， 1)，B(2，2)在坐标平面上什么位置，都有d=|AB|= ，特别地，与坐标轴平行的线段的长|AB|=|2－1|或|AB|=|2-1|.2．定比分点公式:定比分点公式是解决共线三点A( 1，1)，B(2，2)，P(，)之间数量关系的一个公式，其中λ的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比.这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的，一旦选定后λ的值也就随之确定了.若以A为起点，B为终点，P为分点，则定比分点公式是 .当P点为AB的中点时，λ=1，此时中点坐标公式是 .3．直线的倾斜角和斜率的关系 （1）每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率. （2）斜率存在的直线，其斜率  与倾斜角α之间的关系是=tanα.4．确定直线方程需要有两个互相独立的条件。直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围.
5．两条直线的夹角。当两直线的斜率  , 都存在且·≠ -1时，tanθ= ，当直线的斜率不存在时，可结合图形判断.另外还应注意到：“到角”公式与“夹角”公式的区别.6．怎么判断两直线是否平行或垂直？判断两直线是否平行或垂直时，若两直线的斜率都存在，可以用斜率的关系来判断；若直线的斜率不存在，则必须用一般式的平行垂直条件来判断. （1）斜率存在且不重合的两条直线  1∶ ， 2∶ ，有以下结论：① 1∥2 =，且ｂ1＝ｂ2② 1⊥2·= -1（2）对于直线 1∶ ，2 ∶ ，当 1，2， 1，2都不为零时，有以下结论：① 1∥2 = ≠ ② 1⊥212+12 = 0③ 1与2相交≠④ 1与2重合==7．点到直线的距离公式. （1）已知一点P（  ）及一条直线： ，则点P到直线的距离d= ；（2）两平行直线 1:  ， 2:  之间的距离d= .8．确定圆方程需要有三个互相独立的条件。圆的方程有两种形式，要知道两种形式之间的相互转化及相互联系 （1）圆的标准方程：  ，其中（ ，b）是圆心坐标， 是圆的半径；（2）圆的一般方程：  （ ＞0），圆心坐标为（- ，- ），半径为= .二、疑难知识导析 1．直线与圆的位置关系的判定方法. （1）方法一 直线： ；圆：.  一元二次方程  （2）方法二 直线: ；圆：，圆心（，b）到直线的距离为d=    2．两圆的位置关系的判定方法. 设两圆圆心分别为O1、O2，半径分别为 1，2，|O1O2|为圆心距，则两圆位置关系如下：|O1O2|> 1+2两圆外离；|O1O2|= 1+2两圆外切；| 1-2|<|O1O2|<1+2两圆相交；| O1O2 |=| 1-2|两圆内切；0<| O1O2|<| 1-2|两圆内含.三、经典例题导讲 ［例1］直线l经过P（2,3）,且在x,y轴上的截距相等,试求该直线方程. 错解：设直线方程为:  ,又过P(2,3),∴ ,求得a=5∴直线方程为x+y-5=0. 错因：直线方程的截距式: 的条件是:≠0且b≠0,本题忽略了 这一情形.正解：在原解的基础上,再补充这样的过程:当直线过(0,0)时,此时斜率为:  ,∴直线方程为y=  x综上可得:所求直线方程为x+y-5=0或y= x .［例2］已知动点P到y轴的距离的3倍等于它到点A(1,3)的距离的平方,求动点P的轨迹方程. 错解：设动点P坐标为(x,y).由已知3  化简3  =x2-2x+1+y2-6y+9 .当x≥0时得x2-5x+y2-6y+10=0 . ① 当x＜0时得x2+ x+y2-6y+10=0 . ② 错因：上述过程清楚点到y轴距离的意义及两点间距离公式,并且正确应用绝对值定义将方程分类化简,但进一步研究化简后的两个方程,配方后得 (x-)2+(y-3)2 = ① 和 (x+)2+(y-3)2 = - ② 两个平方数之和不可能为负数,故方程②的情况不会出现. 正解： 接前面的过程,∵方程①化为(x-)2+(y-3)2 = ,方程②化为(x+)2+(y-3)2 = - ,由于两个平方数之和不可能为负数,故所求动点P的轨迹方程为: (x-)2+(y-3)2 = (x≥0) ［例3］m是什么数时，关于x,y的方程（2m2+m-1）x2+（m2-m+2）y2+m+2=0的图象表示一个圆？ 错解：欲使方程Ax2+Cy2+F=0表示一个圆，只要A=C≠0， 得2m2+m-1=m2-m+2，即m2+2m-3=0，解得m1=1，m2=-3， ∴当m=1或m=-3时，x2和y2项的系数相等，这时，原方程的图象表示一个圆 错因：A=C，是Ax2+Cy2+F=0表示圆的必要条件，而非充要条件，其充要条件是： A=C≠0且＜0. 正解：欲使方程Ax2+Cy2+F=0表示一个圆，只要A=C≠0， 得2m2+m-1=m2-m+2，即m2+2m-3=0，解得m1=1，m2=-3， (1) 当m=1时，方程为2x2+2y2=-3不合题意，舍去. (2) 当m=-3时，方程为14x2+14y2=1,即x2+y2=,原方程的图形表示圆. ［例4］自点A(-3，3)发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7＝0相切，求光线L所在的直线方程. 错解：设反射光线为L′,由于L和L′关于x轴对称，L过点A(-3，3)，点A关于x轴的对称点A′(-3，-3)，于是L′过A(-3，-3). 设L′的斜率为k，则L′的方程为y-(-3)＝k［x-(-3)］，即kx-y+3k-3＝0， 已知圆方程即(x-2)2+(y-2)2＝1，圆心O的坐标为(2，2)，半径r＝1 因L′和已知圆相切，则O到L′的距离等于半径r＝1 即  整理得12k2-25k+12＝0 解得k＝  L′的方程为y+3＝(x+3)即4x-3y+3＝0 因L和L′关于x轴对称 故L的方程为4x+3y+3＝0. 错因：漏解 正解：设反射光线为L′,由于L和L′关于x轴对称，L过点A(-3，3)，点A关于x轴的对称点A′(-3，-3)， 于是L′过A(-3，-3). 设L′的斜率为k，则L′的方程为y-(-3)＝k［x-(-3)］，即kx-y+3k-3＝0， 已知圆方程即(x-2)2+(y-2)2＝1，圆心O的坐标为(2，2)，半径r＝1 因L′和已知圆相切，则O到L′的距离等于半径r＝1 即 整理得12k2-25k+12＝0 解得k＝ 或k＝ L′的方程为y+3＝ (x+3);或y+3＝(x+3)。即4x-3y+3＝0或3x-4y-3＝0 因L和L′关于x轴对称 故L的方程为4x+3y+3＝0或3x+4y-3＝0. ［例5］求过直线  和圆 的交点，且满足下列条件之一的圆的方程：（1） 过原点；（2）有最小面积. 解：设所求圆的方程是：  即：  （1）因为圆过原点，所以  ，即 故所求圆的方程为：  .（2） 将圆系方程化为标准式，有：  当其半径最小时，圆的面积最小，此时  为所求.故满足条件的圆的方程是  .点评：（1）直线和圆相交问题，这里应用了曲线系方程，这种解法比较方便；当然也可以待定系数法。（2）面积最小时即圆半径最小。也可用几何意义，即直线与相交弦为直径时圆面积最小. ［例6］（06年辽宁理科）已知点A(  )，B( )（ ≠0）是抛物线 上的两个动点，O是坐标原点，向量 满足｜ ｜＝｜ ｜.设圆C的方程为 （1）证明线段AB是圆C的直径； （2）当圆C的圆心到直线  的距离的最小值为 时，求 的值.解：（1）证明 ∵｜ ｜＝｜｜，∴（）2＝（）2，整理得：  ＝0 ∴＋ ＝0设M（  ）是以线段AB为直径的圆上的任意一点，则 ＝0即  ＋ ＝0整理得： 故线段AB是圆C的直径. （2）设圆C的圆心为C（ ），则 ∵  ， ∴  又∵ ＋＝0 ，＝－∴－  ∵ ≠0，∴≠0∴ ＝－4  ＝  所以圆心的轨迹方程为  设圆心C到直线 的距离为ｄ，则＝  当 ＝时，ｄ有最小值 ，由题设得＝∴ ＝2.四、典型习题导练 1．直线  截圆 得的劣弧所对的圆心角为 （ ） A. B. C. D. 2.已知直线x=a(a＞0)和圆(x-1)2+y2=4相切，那么a的值是( ) A.5 B.4 C.3 D.2 3. 如果实数x、y满足等式(x-2)2+y2＝３，则  的最大值为： .4.设正方形ABCD（A、B、C、D顺时针排列）的外接圆方程为x2+y2-6x+a=0（a<9），C、D点所在直线l的斜率为  .（1）求外接圆圆心M点的坐标及正方形对角线AC、BD的斜率； （2）如果在x轴上方的A、B两点在一条以原点为顶点，以x轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线l的方程； （3）如果ABCD的外接圆半径为2  ，在x轴上方的A、B两点在一条以x轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线l的方程.5.如图，已知圆C：（x+4）2+y2=4。圆D的圆心D在y轴上且与圆C外切。圆 D与y轴交于A、B两点，点P为(-3，0). （1）若点D坐标为（0，3），求∠APB的正切值； （2）当点D在y轴上运动时，求∠APB的正切值的最大值； （3）在x轴上是否存在定点Q，当圆D在y轴上运动时，∠AQB是定值？如果存在，求出点Q坐标；如果不存在，说明理由.  (责任编辑：admin) |
=
+
=1
，
，
分别为斜率、横截距和纵截距- 上一篇：错解剖析得真知（二十一）
- 下一篇：错解剖析得真知（十二）