错解剖析得真知（二十二）
http://www.newdu.com 2025/12/22 11:12:54 人民教育出版社 佚名 参加讨论
错解剖析得真知（二十二） §7.3 点、直线和圆锥曲线 一、知识导学 1． 点M(x0，y0)与圆锥曲线C：f(x，y)=0的位置关系 已知  （a＞b＞0）的焦点为F1、F2,  （a＞0,b＞0）的焦点为F1、F2，  (p＞0)的焦点为F，一定点为P(x0，y0)，M点到抛物线的准线的距离为d，则有： 上述结论可以利用定比分点公式，建立两点间的关系进行证明． 2．直线  ∶Ax＋B ＋C=0与圆锥曲线C∶f(x，y)＝0的位置关系：直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为： 设直线 :Ax+By+C=0,圆锥曲线C:f(x,y)=0,由 消去y(或消去x)得:ax2+bx+c=0,△=b2-4ac,（若a≠0时）， △＞0  相交 △＜0相离 △= 0相切注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件． 二、疑难知识导析 1．椭圆的焦半径公式：（左焦半径）  ,（右焦半径） ,其中 是离心率。 焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式：  （其中 分别是椭圆的下上焦点）.焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关  可以记为：左加右减，上减下加.2．双曲线的焦半径 定义：双曲线上任意一点M与双曲线焦点  的连线段，叫做双曲线的焦半径.焦点在x轴上的双曲线的焦半径公式：  焦点在y轴上的双曲线的焦半径公式：  （ 其中分别是双曲线的下上焦点）3．双曲线的焦点弦： 定义：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦。 焦点弦公式： 当双曲线焦点在x轴上时， 过左焦点与左支交于两点时：  ；过右焦点与右支交于两点时：  。当双曲线焦点在y轴上时， 过左焦点与左支交于两点时：  ；过右焦点与右支交于两点时：  。4．双曲线的通径： 定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦  .5．直线和抛物线 （1）位置关系： 相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点）. 联立  ，得关于x的方程 当  （二次项系数为零），唯一一个公共点（交点）；当  ，则若  ，两个公共点（交点）； ，一个公共点（切点）； ，无公共点 （相离）.（2）相交弦长： 弦长公式：  .（3）焦点弦公式： 抛物线  ，  .抛物线  ，  .抛物线  ，  .抛物线  ， .（4）通径： 定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 通径： .（5）常用结论：   和  和 .三、经典例题导讲 [例1]求过点  的直线，使它与抛物线 仅有一个交点.错解： 设所求的过点 的直线为 ，则它与抛物线的交点为 ，消去得 整理得   直线与抛物线仅有一个交点， 解得 所求直线为 正解： ①当所求直线斜率不存在时，即直线垂直  轴，因为过点，所以 即轴，它正好与抛物线相切.②当所求直线斜率为零时，直线为y = 1平行轴，它正好与抛物线只有一个交点.③一般地，设所求的过点的直线为 ,则， 令 解得k = ,∴ 所求直线为综上，满足条件的直线为：  [例2]已知曲线C：  与直线L： 仅有一个公共点，求m的范围.错解：曲线C： 可化为 ①，联立 ，得： ，由Δ＝0,得 .错因：方程①与原方程并不等价，应加上  .正解：原方程的对应曲线应为椭圆的上半部分.（如图），结合图形易求得m的范围为  . 注意：在将方程变形时应时时注意范围的变化，这样才不会出错. [例3]已知双曲线  ，过P(1,1)能否作一条直线L与双曲线交于A、B两点，且P为AB中点.错解：（1）过点P且与x轴垂直的直线显然不符合要求. （2）设过P的直线方程为  ，代入并整理得： ∴  ，又∵ ∴ 解之得：k=2，故直线方程为：y=2x-1,即直线是存在的. 正解：接以上过程，考虑隐含条件“Δ>0”，当k=2时代入方程可知Δ<0，故这样的直线不存在. [例4]已知A、B是圆  与x轴的两个交点，CD是垂直于AB的动弦，直线AC和DB相交于点P，问是否存在两个定点E、F, 使 | | PE |－| PF | | 为定值？若存在，求出E、F的坐标；若不存在，请说明理由.   解：由已知得 A (－1, 0 )、B ( 1, 0 ), 设 P ( x, y ), C (  ) , 则 D ( ),由A、C、P三点共线得  ①由D、B、P三点共线得  ②①×② 得  ③又  , ∴ ， 代入③得  ，即点P在双曲线 上， 故由双曲线定义知，存在两个定点E (－ , 0 )、F ( , 0 )（即此双曲线的焦点），使 | | PE |－| PF | | = 2 (即此双曲线的实轴长为定值).[例5]已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1 与该椭圆相交于P和Q，且OP⊥OQ，｜PQ｜=  ，求椭圆的方程.解：设所求椭圆的方程为  =1. 依题意知，点P、Q的坐标满足方程组：  将②代入①，整理得  ， ③设方程③的两个根分别为  、 ，则直线y=x+1和椭圆的交点为P( ,+1)，Q(,+1)由题设OP⊥OQ，｜OP｜= ，可得 整理得  解这个方程组，得  或  根据根与系数的关系，由③式得 (1)  或 (2)  解方程组(1)、(2)得  或 故所求椭圆方程为  =1 ， 或 =1.[例6]（06年高考湖南）已知椭圆C1：  ＝1，抛物线C2： ，且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点。（1）当AB⊥轴时，求 、 的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上；（2）若＝ ，且抛物线C2的焦点在直线AB上，求的值及直线AB的方程.解：（1）当AB⊥ 轴时，点A、B关于轴对称，所以＝0，直线AB的方程为＝1，从而点A的坐标为（1，  ）或（1，－），因为点A在抛物线上，所以  ，＝ .此时，抛物线C2的焦点坐标为（  ，0），该焦点不在直线AB上.(1) 当抛物线C2的焦点在直线AB上时，由（1）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为  .(2)  由  消去得 ①设A、B的坐标分别为 （  ）、（ ）.则 ，是方程①的两根，＋＝ .因为AB既是过C1的右焦点的弦，又是C2的焦点的弦， 所以｜AB｜＝（2－  ）＋（2－ ）＝4－ ，且｜AB｜＝（  ）＋（ ）＝ ＝ .从而 ＝4－所以  ，即 解得  .因为C2的焦点F、（  ）在直线上，所以 ，即  当  时直线AB的方程为 ；当  时直线AB的方程为 .四、典型习题导练 1．顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线被直线l：y=2x+1截得的弦长为  ，则抛物线方程为 2.直线m：y=kx+1和双曲线x2－y2=1的左支交于A、B两点，直线l过点P（－2，0）和线段AB的中点，则直线l在y轴上的截距b的取值范围为 3．  试求m的取值范围.   4． 设过原点的直线l与抛物线y2=4(x－1)交于A、B两点，且以AB为直径的圆恰好过抛物线的焦点F， （1）求直线l的方程； （2）求|AB|的长. 5． 如图，过抛物线y2=4x的顶点O作任意两条互相垂直的弦OM、ON，求(1)MN与x轴交点的坐标；(2)求MN中点的轨迹方程.  9．设曲线C的方程是y＝x3-x，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t,s单 位长度后得曲线C1. (1)写出曲线C1的方程； (2)证明曲线C与C1关于点A(  )对称；(3)如果曲线C与C1有且仅有一个公共点，证明s＝  且t≠0.(责任编辑：admin) |
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