错解剖析得真知（二十四）
http://www.newdu.com 2025/05/19 11:05:09 人民教育出版社 佚名 参加讨论
错解剖析得真知（二十四） §7．5综合问题选讲 一、知识导学 (一)直线和圆的方程 1．理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程. 2．掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系. 3．了解二元一次不等式表示平面区域. 4．了解线性规划的意义，并会简单的应用. 5．了解解析几何的基本思想，了解坐标法. 6．掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程. (二)圆锥曲线方程 1． 掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质. 2． 掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质. 3． 掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质. 4．了解圆锥曲线的初步应用. （三）目标 1.能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程；从直线的点斜式方程出发推导出直线方程的其他形式，斜截式、两点式、截距式；能根据已知条件，熟练地选择恰当的方程形式写出直线的方程，熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化，能利用直线的方程来研究与直线有关的问题了. 2.能正确画出二元一次不等式（组）表示的平面区域，知道线性规划的意义，知道线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念，能正确地利用图解法解决线性规划问题，并用之解决简单的实际问题，了解线性规划方法在数学方面的应用；会用线性规划方法解决一些实际问题. 3.理解“曲线的方程”、“方程的曲线”的意义，了解解析几何的基本思想，掌握求曲线的方程的方法. 4．掌握圆的标准方程：  （r＞0），明确方程中各字母的几何意义，能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径，掌握圆的一般方程： ，知道该方程表示圆的充要条件并正确地进行一般方程和标准方程的互化，能根据条件，用待定系数法求出圆的方程，理解圆的参数方程 （θ为参数），明确各字母的意义，掌握直线与圆的位置关系的判定方法.5．正确理解椭圆、双曲线和抛物线的定义，明确焦点、焦距的概念；能根据椭圆、双曲线和抛物线的定义推导它们的标准方程；记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程；能根据条件，求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程；掌握椭圆、双曲线和抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率、准线（双曲线的渐近线）等，从而能迅速、正确地画出椭圆、双曲线和抛物线；掌握  、b、 、 、 之间的关系及相应的几何意义；利用椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，确定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，并解决简单问题；理解椭圆、双曲线和抛物线的参数方程，并掌握它的应用；掌握直线与椭圆、双曲线和抛物线位置关系的判定方法.二、疑难知识导析 1． ⑴ 直线的斜率是一个非常重要的概念，斜率  反映了直线相对于 轴的倾斜程度.当斜率存在时，直线方程通常用点斜式或斜截式表示，当斜率不存在时，直线方程为=（∈R）.因此，利用直线的点斜式或斜截式方程解题时，斜率存在与否，要分别考虑.⑵ 直线的截距式是两点式的特例， 、b分别是直线在轴、 轴上的截距，因为≠0，b≠0，所以当直线平行于轴、平行于轴或直线经过原点，不能用截距式求出它的方程，而应选择其它形式求解.⑶求解直线方程的最后结果，如无特别强调，都应写成一般式. ⑷当直线  或 的斜率不存在时，可以通过画图容易判定两条直线是否平行与垂直⑸在处理有关圆的问题，除了合理选择圆的方程，还要注意圆的对称性等几何性质的运用，这样可以简化计算. 2. ⑴用待定系数法求椭圆的标准方程时，要分清焦点在 轴上还是轴上，还是两种都存在.⑵注意椭圆定义、性质的运用，熟练地进行 、b、、间的互求，并能根据所给的方程画出椭圆.⑶求双曲线的标准方程 应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解. ⑷双曲线  的渐近线方程为 或表示为 .若已知双曲线的渐近线方程是 ，即 ，那么双曲线的方程具有以下形式： ，其中是一个不为零的常数.⑸双曲线的标准方程有两个 和 （＞0，b＞0）.这里 ，其中|  |=2c.要注意这里的、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.⑹求抛物线的标准方程，要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型，再求抛物线的标准方程，要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型，再由条件确定参数 的值.同时，应明确抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存，知道其中抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存，知道其中一个，就可以求出其他两个.三、经典例题导讲 [例1]已知点T是半圆O的直径AB上一点，AB=2、OT=  (0<<1)，以AB为直腰作直角梯形 ，使 垂直且等于AT，使 垂直且等于BT， 交半圆于P、Q两点，建立如图所示的直角坐标系. (1)写出直线 的方程；（2）计算出点P、Q的坐标； （3）证明：由点P发出的光线，经AB反射后，反射光线通过点Q. 解: (1 ) 显然  ,  于是 直线的方程为 ；（2）由方程组  解出  、 ； （3）  ,  .由直线PT的斜率和直线QT的斜率互为相反数知，由点P发出的光线经点T反射，反射光线通过点Q. [例2]设P是圆M：( -5)2+(-5)2=1上的动点，它关于A(9, 0)的对称点为Q，把P绕原点依逆时针方向旋转90°到点S，求|SQ|的最值.解：设P( ,)，则Q(18-, -)，记P点对应的复数为+ ，则S点对应的复数为： (+)·=-+，即S(-, )∴   其中  可以看作是点P到定点B(9, -9)的距离，共最大值为 最小值为 ，则|SQ|的最大值为  ，|SQ|的最小值为 .[例4]（02年天津卷）已知两点M（-1，0），N（1，0）且点P使  成公差小于零的等差数列，（1）点P的轨迹是什么曲线？ （2）若点P坐标为  ， 为 的夹角，求tanθ.解：（1）记P（ , ），由M（-1，0）N（1，0）得   所以    于是， 是公差小于零的等差数列等价于 即  所以，点P的轨迹是以原点为圆心，  为半径的右半圆.（2）点P的坐标为 。 .  因为 0〈 ， 所以    .[例4]舰A在舰B的正东6千米处，舰C在舰B的北偏西30°且与B相距4千米，它们准备捕海洋动物，某时刻A发现动物信号，4秒后B、C同时发现这种信号，A发射麻醉炮弹.设舰与动物均为静止的，动物信号的传播速度为1千米/秒，炮弹的速度是  千米/秒，其中g为重力加速度，若不计空气阻力与舰高，问舰A发射炮弹的方位角和仰角应是多少？分析：答好本题，除要准确地把握好点P的位置(既在线段BC的垂直平分线上，又在以A、B为焦点的抛物线上)，还应对方位角的概念掌握清楚. 技巧与方法：通过建立恰当的直角坐标系，将实际问题转化成解析几何问题来求解.对空间物体的定位，一般可利用声音传播的时间差来建立方程. 解：取AB所在直线为 轴，以AB的中点为原点，建立如图所示的直角坐标系.由题意可知，A、B、C舰的坐标为(3，0)、(－3，0)、(－5，2 ). 由于B、C同时发现动物信号，记动物所在位置为P，则|PB|=|PC|.于是P在线段BC的中垂线上，易求得其方程为 －3+7=0.又由A、B两舰发现动物信号的时间差为4秒，知|PB|－|PA|=4，故知P在双曲线  =1的右支上. 直线与双曲线的交点为(8，5 )，此即为动物P的位置，利用两点间距离公式，可得|PA|=10.据已知两点的斜率公式，得kPA= ,所以直线PA的倾斜角为60°,于是舰A发射炮弹的方位角应是北偏东30°.设发射炮弹的仰角是θ，初速度v0= ，则 ,∴sin2θ=  ,∴仰角θ=30°. 答：方位角北偏东300，仰角30°. 解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的. (1)对于求曲线方程中参数的取值范围问题，需构造参数满足的不等式，通过求不等式(组)求得参数的取值范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域. (2)对于圆锥曲线的最值问题，解法常有两种：当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解；当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值. [例5]已知抛物线C： 2=4.(1)若椭圆左焦点及相应的准线与抛物线C的焦点F及准线  分别重合，试求椭圆短轴端点B与焦点F连线中点P的轨迹方程；(2)若M(m,0)是 轴上的一定点，Q是(1)所求轨迹上任一点，试问|MQ|有无最小值？若有，求出其值；若没有，说明理由.解：由抛物线 2=4,得焦点F(1,0),准线：=－1.(1)设P( ,)，则B(2－1,2),椭圆中心O′,则|FO′|∶|BF|=,又设点B到的距离为 ,则|BF|∶=,∴|FO′|∶|BF|=|BF|∶,即(2－2)2+(2)2=2(2－2),化简得P点轨迹方程为2=－1(＞1). (2)设Q( ,y),则|MQ|=   (ⅰ)当m－  ≤1,即m≤ 时，函数=[－(m－)2]+m－ 在(1，+∞)上递增，故无最小值，亦即|MQ|无最小值.(ⅱ)当m－ ＞1,即m＞时，函数=[2－(m－)2]+m－在=m－处有最小值m－,∴|MQ|min= .[例6]已知抛物线C的对称轴与 轴平行，顶点到原点的距离为5.若将抛物线C向上平移3个单位，则在轴上截得的线段长为原抛物线C在轴上截得的线段长的一半；若将抛物线C向左平移1个单位，则所得抛物线过原点，求抛物线C的方程.解:设所求抛物线方程为( - )2=(-)( ∈R, ≠0) ①由①的顶点到原点的距离为5，得  =5 ②在①中，令 =0，得2-2+2+=0。设方程的二根为1,2，则| 1-2|=2 .将抛物线①向上平移3个单位，得抛物线的方程为 ( -h)2=(--3)令 =0，得2-2+2++3=0。设方程的二根为3,4，则| 3-4|=2 .依题意得2 = ·2，即 4( +3)= ③将抛物线①向左平移1个单位，得( -+1)2=(-),由抛物线过原点，得(1- )2=- ④由②③④得 =1，=3, =-4或=4，=-3, =-4.∴所求抛物线方程为( -3)2=+4，或(+3)2=4(+4).四、典型习题导练 1．过抛物线 2=4的对称轴上任一点P（0,m）(m>0)作直线与抛物线交于A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点.（1）设点P分有向线段  所成的比为 ，证明:  ；（2）设直线AB的方程是 -2+12=0，过A、B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程.2．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100﹪和50﹪，可能的最大亏损分别为30﹪和10﹪. 投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？ 3．直线  的右支交于不同的两点A、B.（1）求实数 的取值范围；（2）是否存在实数 ，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.4.已知倾斜角为  的直线过点A（1，－2）和点B，B在第一象限，｜AB｜＝3 .(1) 求点B的坐标； (2) 若直线  与双曲线  相交于 、 两点，且线段 的中点坐标为（4,1），求 的值；(3) 对于平面上任一点  ，当点Q在线段AB上运动时，称｜PQ｜的最小值为与线段 的距离. 已知点在 轴上运动，写出点 到线段的距离 关于 的函数关系式.5．已知椭圆的中心在原点，离心率为 ，一个焦点是F（-m,0）(m是大于0的常数). (1)求椭圆的方程； (2)设Q是椭圆上的一点，且过点F、Q的直线 与轴交于点M. 若｜MQ｜＝2｜QF｜，求直线的斜率. (责任编辑：admin) |
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