有关数域的一个易出错例题
http://www.newdu.com 2025/05/20 12:05:13 人民教育出版社 佚名 参加讨论
有关数域的一个易出错例题 湖北省武汉市东湖中学 杨 帆 下面来看这样的一个例子： 例1.已知  ，求 的表达式。解法1：因为  ，所以 解法2：令  ，则 或 ，这就是的定义域。由法一得， 解法3：令 ，则 是由 和 两个函数复合而得。所以 ，其中 为 的值域， 为的定义域，因而在 或 上有定义，至于在 上，是否有定义，表达式如何，不确定。因而符合条件的表达式有无穷多个。如 为其中一个。初看起来解法1是没有考虑定义域，解法2显然认为内函数的值域就是 的定义域，解法3认为内函数的值域是的定义域的一部分，符合条件的函数有无穷多个。这样看来解法一也不一定就是没有考虑定义域，是否在上也定义，只写出其中一个呢？以上的解法各有漏洞。因为题目中并未限定此时  的取值是在实数范围内的而解法2、3正是运用均值不等式对于函数 当 时 ，及当 时   产生的。而均值不等式在复数范围内是不一定成立的，此时的值域不再是 ，而是全体实数。比如，当 时 ，当 时 。解法2、3正是对数域考虑的不全面以及均值不等式运用范围考虑的不周全而产生的错误。而解法1就是不正确的，原因在于没有交待自变量的取值范围，要分 或 这样的两种情况来讨论。(责任编辑：admin) |
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