高一数学集合知识点总结
http://www.newdu.com 2024/11/09 07:11:56 高考网 佚名 参加讨论
一．知识归纳： 1．集合的有关概念。 1）集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）．其中每一个对象叫元素 注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。 ②集合中的元素具有确定性（a?A和a?A，二者必居其一）、互异性（若a?A，b?A，则a≠b）和无序性（{a,b}与{b,a}表示同一个集合）。 ③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符号条件 2）集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法 3）集合的分类：有限集，无限集，空集。 4）常用数集：N，Z，Q，R，N* 2．子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。 1）子集：若对x∈A都有x∈B，则A B（或A B）； 2）真子集：A B且存在x0∈B但x0 A；记为A B（或 ，且 ） 3）交集：A∩B={x| x∈A且x∈B} 4）并集：A∪B={x| x∈A或x∈B} 5）补集：CUA={x| x A但x∈U} 注意：①? A，若A≠?，则? A ； ②若 ， ，则 ； ③若 且 ，则A=B（等集） 3．弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：（1） 与 、?的区别；（2） 与 的区别；（3） 与 的区别。 4．有关子集的几个等价关系 ①A∩B=A A B；②A∪B=B A B；③A B C uA C uB； ④A∩CuB = 空集 CuA B；⑤CuA∪B=I A B。 5．交、并集运算的性质 ①A∩A=A，A∩? = ?，A∩B=B∩A；②A∪A=A，A∪? =A，A∪B=B∪A； ③Cu (A∪B)= CuA∩CuB，Cu (A∩B)= CuA∪CuB； 6．有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n个子集，2n－1个非空子集，2n－2个非空真子集。 二．例题讲解： 【例1】已知集合M={x|x=m+ ,m∈Z},N={x|x= ,n∈Z},P={x|x= ,p∈Z}，则M,N,P满足关系 A) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M 分析一：从判断元素的共性与区别入手。 解答一：对于集合M：{x|x= ,m∈Z}；对于集合N：{x|x= ,n∈Z} 对于集合P：{x|x= ,p∈Z}，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数，而6m+1表示被6除余1的数，所以M N=P，故选B。 分析二：简单列举集合中的元素。 解答二：M={…， ，…}，N={…， , , ，…}，P={…， , ，…}，这时不要急于判断三个集合间的关系，应分析各集合中不同的元素。 = ∈N， ∈N，∴M N，又 = M，∴M N， = P，∴N P 又 ∈N，∴P N，故P=N，所以选B。 点评：由于思路二只是停留在最初的归纳假设，没有从理论上解决问题，因此提倡思路一，但思路二易人手。 变式：设集合 ， ，则（ B ） A．M=N B．M N C．N M D． 解： 当 时，2k+1是奇数，k+2是整数，选B 【例2】定义集合A*B={x|x∈A且x B}，若A={1,3,5,7},B={2,3,5}，则A*B的子集个数为 A）1 B）2 C）3 D）4 分析：确定集合A*B子集的个数，首先要确定元素的个数，然后再利用公式：集合A={a1，a2，…，an}有子集2n个来求解。 解答：∵A*B={x|x∈A且x B}， ∴A*B={1,7}，有两个元素，故A*B的子集共有22个。选D。 变式1：已知非空集合M {1,2,3,4,5}，且若a∈M，则6?a∈M，那么集合M的个数为 A）5个 B）6个 C）7个 D）8个 变式2：已知{a,b} A {a,b,c,d,e},求集合A. 解：由已知，集合中必须含有元素a,b. 集合A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}. 评析 本题集合A的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个数，所以共有 个 . 【例3】已知集合A={x|x2+px+q=0},B={x|x2?4x+r=0},且A∩B={1},A∪B={?2,1,3},求实数p,q,r的值。 解答：∵A∩B={1} ∴1∈B ∴12?4×1+r=0,r=3. ∴B={x|x2?4x+r=0}={1,3}, ∵A∪B={?2,1,3},?2 B, ∴?2∈A ∵A∩B={1} ∴1∈A ∴方程x2+px+q=0的两根为-2和1， ∴ ∴ 变式：已知集合A={x|x2+bx+c=0},B={x|x2+mx+6=0},且A∩B={2},A∪B=B，求实数b,c,m的值. 解：∵A∩B={2} ∴1∈B ∴22+m?2+6=0,m=-5 ∴B={x|x2-5x+6=0}={2,3} ∵A∪B=B ∴ 又 ∵A∩B={2} ∴A={2} ∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4 ∴b=-4,c=4,m=-5 【例4】已知集合A={x|(x-1)(x+1)(x+2)>0},集合B满足：A∪B={x|x>-2}，且A∩B={x|1 分析：先化简集合A，然后由A∪B和A∩B分别确定数轴上哪些元素属于B，哪些元素不属于B。 解答：A={x|-21}。由A∩B={x|1-2}可知[-1,1] B，而(-∞,-2)∩B=ф。 综合以上各式有B={x|-1≤x≤5} 变式1：若A={x|x3+2x2-8x>0}，B={x|x2+ax+b≤0},已知A∪B={x|x>-4}，A∩B=Φ,求a,b。（答案：a=-2，b=0） 点评：在解有关不等式解集一类集合问题，应注意用数形结合的方法，作出数轴来解之。 变式2：设M={x|x2-2x-3=0},N={x|ax-1=0}，若M∩N=N，求所有满足条件的a的集合。 解答：M={-1,3} , ∵M∩N=N, ∴N M ①当 时，ax-1=0无解，∴a=0 ② 综①②得：所求集合为{-1，0， } 【例5】已知集合 ，函数y=log2(ax2-2x+2)的定义域为Q，若P∩Q≠Φ，求实数a的取值范围。 分析：先将原问题转化为不等式ax2-2x+2>0在 有解，再利用参数分离求解。 解答：（1）若 ， 在 内有有解 令 当 时， 所以a>-4,所以a的取值范围是 变式：若关于x的方程 有实根,求实数a的取值范围。 解答： 点评：解决含参数问题的题目，一般要进行分类讨论，但并不是所有的问题都要讨论，怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。 (责任编辑：admin) |