高二数学测试题：2012届高三数学第一轮复习阶段性测试题(含答案和解释)(2)
http://www.newdu.com 2024/09/29 06:09:22 新东方 佚名 参加讨论
[答案] 17 [解析] tan(β-2α)=tan[(β-α)-α] =tanβ-α-tanα1+tanβ-α•tanα=3-21+3×2=17. 15.(2011•安徽百校论坛联考)已知f(x)=2sin2x-π6-m在x∈[0，π2]上有两个不同的零点，则m的取值范围是________. [答案] [-1,2] [解析] f(x)在[0，π2]上有两个不同零点，即方程f(x)=0在[0，π2]上有两个不同实数解， ∴y=2sin2x-π6，x∈[0，π2]与y=m有两个不同交点， ∵0≤x≤π2，∴-π6≤2x-π6≤5π6， ∴-12≤sin(2x-π6)≤1，∴-1≤y≤2，∴-1≤m≤2. 16.(2011•四川广元诊断)对于函数f(x)=2cos2x+2sinxcosx-1(x∈R)给出下列命题：①f(x)的最小正周期为2π;②f(x)在区间[π2，5π8]上是减函数;③直线x=π8是f(x)的图像的一条对称轴;④f(x)的图像可以由函数y=2sin2x的图像向左平移π4而得到.其中正确命题的序号是________(把你认为正确的都填上). [答案] ②③ [解析] f(x)=cos2x+sin2x=2sin2x+π4，最小正周期T=π;由2kπ+π2≤2x+π4≤2kπ+3π2(k∈Z)得kπ+π8≤x≤kπ+5π8，故f(x)在区间[π2，5π8]上是减函数;当x=π8时，2x+π4=π2，∴x=π8是f(x)的图象的一条对轴称;y=2sin2x的图象向左平移π4个单位得到的图象对应函数为y=2sin2x+π4，即y=2sin2x+π2，因此只有②③正确. 三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)(2011•烟台调研)向量m=(a+1，sinx)，n=(1,4cos(x+π6))，设函数g(x)=m•n(a∈R，且a为常数). (1)若a为任意实数，求g(x)的最小正周期; (2)若g(x)在[0，π3)上的最大值与最小值之和为7，求a的值. [解析] g(x)=m•n=a+1+4sinxcos(x+π6) =3sin2x-2sin2x+a+1 =3sin2x+cos2x+a =2sin(2x+π6)+a (1)g(x)=2sin(2x+π6)+a，T=π. (2)∵0≤x<π3，∴π6≤2x+π6<5π6 当2x+π6=π2，即x=π6时，ymax=2+a. 当2x+π6=π6，即x=0时，ymin=1+a， 故a+1+2+a=7，即a=2. 18.(本小题满分12分)(2011•四川资阳模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)在x=π6取得最大值2，方程f(x)=0的两个根为x1、x2，且|x1-x2|的最小值为π. (1)求f(x); (2)将函数y=f(x)图象上各点的横坐标压缩到原来的12，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，求函数g(x)在[-π4，π4]上的值域. [解析] (1)由题意A=2，函数f(x)最小正周期为2π，即2πω=2π，∴ω=1. 从而f(x)=2sin(x+φ)，∵fπ6=2， ∴sinπ6+φ=1，则π6+φ=π2+2kπ，即φ=π3+2kπ， ∵0<φ<π，∴φ=π3.故f(x)=2sinx+π3. (2)可知g(x)=2sin2x+π3， 当x∈[-π4，π4]时，2x+π3∈[-π6，5π6]，则 sin2x+π3∈[-12，1]， 故函数g(x)的值域是[-1,2]. 19.(本小题满分12分)(2011•山西太原调研)在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a+b=5，c=7，且4sin2A+B2-cos2C=72. (1)求角C的大小; (2)求△ABC的面积. [解析] (1)∵A+B+C=180°，4sin2A+B2-cos2C=72.∴4cos2C2-cos2C=72， ∴4•1+cosC2-(2cos2C-1)=72， ∴4cos2C-4cosC+1=0，解得cosC=12， ∵0°(2)∵c2=a2+b2-2abcosC， ∴7=(a+b)2-3ab，解得ab=6. ∴S△ABC=12absinC=12×6×32=332. 20.(本小题满分12分)(2011•辽宁大连联考)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示. (1)求函数f(x)的解析式; (2)若fα2=45，0<α<π3，求cosα的值. [解析] (1)由图象知A=1 f(x)的最小正周期T=4×5π12-π6=π，故ω=2πT=2 将点π6，1代入f(x)的解析式得sinπ3+φ=1， 又|φ|<π2，∴φ=π6 故函数f(x)的解析式为f(x)=sin2x+π6 (2)fα2=45，即sinα+π6=45，又0<α<π3， ∴π6<α+π6<π2，∴cosα+π6=35. 又cosα=[(α+π6)-π6] =cosα+π6cosπ6+sinα+π6sinπ6=33+410. 21.(本小题满分12分)(文)(2011•浙江宁波八校联考)A、B是单位圆O上的动点，且A、B分别在第一、二象限，C是圆O与x轴正半轴的交点，△AOB为等腰直角三角形.记∠AOC=α. (1)若A点的坐标为35，45，求sin2α+sin2αcos2α+cos2α的值; (2)求|BC|2的取值范围. [解析] (1)∵tanα=4535=43， ∴原式=tan2α+2tanα2-tan2α=20. (2)A(cosα，sinα)，B(cos(α+π2)，sin(α+π2))，且C(1,0) |BC|2=[cos(α+π2)-1]2+sin2(α+π2)=2+2sinα 而A，B分别在第一、二象限，α∈0，π2， ∴|BC|2的取值范围是(2,4). (理)(2011•华安、连城、永安、漳平、龙海、泉港六校联考)A、B、C为△ABC的三个内角，且其对边分别为a、b、c，若m=-cosA2，sinA2，n=cosA2，sinA2，且m•n=12. (1)求角A的大小; (2)若a=23，三角形面积S=3，求b+c的值. [解析] (1)m•n=-cos2A2+sin2A2=-cosA=12， ∴cosA=-12，∵A∈(0°，180°)，∴A=120°. (2)S△ABC=12bcsin120°=3 ∴bc=4， 又∵a2=b2+c2-2bccos120° =b2+c2+bc=(b+c)2-bc=12， ∴b+c=4. 22.(本小题满分12分)(2011•黑龙江哈六中期末)在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，C=π3. (1)若△ABC的面积等于3，求a，b; (2)若sinC+sin(B-A)=2sin2A，求△ABC的面积. [解析] (1)由余弦定理及已知条件得，a2+b2-ab=4，又因为△ABC的面积等于3，所以12absinC=3，得ab=4.联立方程组a2+b2-ab=4，ab=4，解得a=2，b=2. (2)由题意得sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA，即sinBcosA=2sinAcosA， 当cosA=0时，A=π2，B=π6，a=433，b=233， 当cosA≠0时，得sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a，联立方程组a2+b2-ab=4，b=2a， 解得a=233，b=433. 所以△ABC的面积S=12absinC=233. (责任编辑：admin) |
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