高一数学：函数的对称性总结(2)
http://www.newdu.com 2025/06/18 08:06:17 新东方网 佚名 参加讨论
四、 函数对称性应用举例 例1：定义在R上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5－x) = f (5+x),则f (x)一定是（ ） （第十二届希望杯高二 第二试题） (A)是偶函数，也是周期函数 (B)是偶函数，但不是周期函数 (C)是奇函数，也是周期函数 (D)是奇函数，但不是周期函数 解：∵f (10+x)为偶函数，∴f (10+x) = f (10－x). ∴f (x)有两条对称轴 x = 5与x =10 ，因此f (x)是以10为其一个周期的周期函数， ∴x =0即y轴也是f (x)的对称轴，因此f (x)还是一个偶函数。 故选(A) 例2：设定义域为R的函数y = f (x)、y = g(x)都有反函数，并且f(x－1)和g-1(x－2)函数的图像关于直线y = x对称，若g(5) = 1999，那么f(4)=（ ）。 （A） 1999； （B）2000； （C）2001； （D）2002。 解：∵y = f(x－1)和y = g-1(x－2)函数的图像关于直线y = x对称， ∴y = g-1(x－2) 反函数是y = f(x－1)，而y = g-1(x－2)的反函数是:y = 2 + g(x), ∴f(x－1) = 2 + g(x), ∴有f(5－1) = 2 + g(5)=2001 故f(4) = 2001,应选（C） 例3.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)= f(1－x),当－1≤x≤0时， f (x) = － x，则f (8.6 ) = _________ （第八届希望杯高二 第一试题） 解：∵f(x)是定义在R上的偶函数∴x = 0是y = f(x)对称轴； 又∵f(1+x)= f(1－x) ∴x = 1也是y = f (x) 对称轴。故y = f(x)是以2为周期的周期函数，∴f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (－0.6 ) = 0.3 例4.函数 y = sin (2x + )的图像的一条对称轴的方程是（ ）(92全国高考理) (A) x = － (B) x = － (C) x = (D) x = 解：函数 y = sin (2x + )的图像的所有对称轴的方程是2x + = k + ∴x = － ,显然取k = 1时的对称轴方程是x = － 故选(A) 例5. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)= －f(x),当0≤x≤1时， f (x) = x，则f (7.5 ) = （ ） (A) 0.5 (B) －0.5 (C) 1.5 (D) －1.5 解：∵y = f (x)是定义在R上的奇函数，∴点（0，0）是其对称中心； 又∵f (x+2 )= －f (x) = f (－x)，即f (1+ x) = f (1－x)， ∴直线x = 1是y = f (x) 对称轴，故y = f (x)是周期为2的周期函数。 ∴f (7.5 ) = f (8－0.5 ) = f (－0.5 ) = －f (0.5 ) =－0.5 故选(B) (责任编辑：admin) |