高一数学：阅读二次函数与一元二次方程根的分布综合
http://www.newdu.com 2025/05/25 08:05:50 新东方网 佚名 参加讨论
高考网汇集整理《高一数学：阅读二次函数与一元二次方程根的分布综合》 (1) 预习题 1. 设有一元二次函数y＝2x2-8x+1．试问， 当x∈[3，4]时，随x变大，y的值变大还是变小？ 由此y＝f(x)在[3，4]上的最大值与最小值分别是什么？ 解：经配方有y＝2(x-2)2-7 ∵对称轴x＝2，区间[3，4]在对称轴右边， ∴y＝f(x)在[3，4]上随x变大，y的值也变大，因此 ymax=f(4)＝1． ymin＝f(3)＝-5． 2.设有一元二次函数y＝2x2-4ax+2a2+3．试问，此函数对称轴是什么？ 当x∈[3，4]时，随x变大，y的值是变大还是变小？与a取值有何关系？ 由此，求y＝f(x)在[3，4]上的最大值与最小值． 解：经配方有y＝2(x-a)2+3． 对称轴为x=a． 当a≤3时，因为区间[3，4]在对称轴的右边，因此，当x∈[3，4]时，随x变大，y的值也变大． 当3＜a＜4时，对称轴x=a在区间[3，4]内，此时，若3≤x≤a，随x变大，y的值变小，但若a≤x≤4，随x变大，y的值变大． 当4≤a时，因为区间[3，4]在对称轴的左边，因此，当x∈[3，4]时，随x变大，y的值反而变小． 根据上述分析，可知． 当a≤3时，ymax=f(4)=2a2-16a+35．ymin=f(3)＝2a2-12a+21． 当3＜a＜4时，ymin＝f(a)＝3． 其中，a≤3.5时，ymax＝f(4)＝2a2-16a+35． a≥3.5时，ymax＝f(3)＝2a2-12a+21． 当a≥4时，ymax＝f(3)＝2a2-12a+21．ymin＝f(4)＝2a2-16a+35． (2) 基础题 例1．设有一元二次方程x2+2(m-1)x+(m+2)＝0．试问： (1)m为何值时，有一正根、一负根． (2)m为何值时，有一根大于1、另一根小于1． (3)m为何值时，有两正根． (4)m为何值时，有两负根． (5)m为何值时，仅有一根在[1，4]内？ 解：(1)设方程一正根x2，一负根x1，显然x1、x2＜0，依违达定理有m+2＜0． ∴ m＜-2． 反思回顾：x1、x2＜0条件下，ac＜0，因此能保证△＞0． (2)设x1＜1，x2＞1，则x1-1＜0，x2-1＞0只要求(x1-1)(x2-1)＜0，即x1x2-(x1+x2)+1＜0． 依韦达定理有 (m+2)+2(m-1)+1＜0． (3)若x1＞0，x2＞0，则x1+x2＞0且x1，x2＞0,故应满足条件 依韦达定理有 (5)由图象不难知道，方程f(x)＝0在[3，4]内仅有一实根条件为f(3)·f(4)＜0，即 [9+6(m-1)+(m+2)]·[16+8(m-1)+(m+2)]＜0． ∴(7m+1)(9m+10)＜0． 例2. 当m为何值时，方程 有两个负数根？ 解：负数根首先是实数根，∴ ， 由根与系数关系：要使方程两实数根为负数，必须且只需两根之和为负，两根之积为正． 由以上分析，有 即 ∴当 时，原方程有两个负数根． (3) 应用题 例1. m取何实数值时，关于x的方程x2+（m-2）x＋5-m=0的两个实根都大于2？ 解：设f（x）=x2+（m-2）x+5-m，如图原方程两个实根都大于2 所以当-5＜m≤-4时，方程的两个实根大于2． 例2．已知关于x方程：x2-2ax＋a＝0有两个实根α，β，且满足0＜α＜1，β＞2，求实根a的取值范围． 解：设f（x）=x2-2ax＋a，则方程f（x）=0的两个根α，β就是抛物线y=f（x）与x轴的两个交点的横坐标，如图0＜α＜1，β＞2的条件是： ＜1，β＞2． 例3．m为何实数时，关于x的方程x2+（m-2）x＋5-m=0的一个实根大于2，另一个实根小于2. 解：设f（x）=x2＋（m-2）x＋5-m，如图，原方程一个实根大于2，另一个实根小于2的充要条件是f（2）＜0，即4＋2（m-2）＋5-m＜0．解得m＜-5．所以当m＜-5时，方程的一个实根大于2，另一个实根小于2． (4) 提高题 例1．已知函数 的图象都在x轴上方，求实数k的取值范围． 解：（1）当 ，则所给函数为二次函数，图象满足： ，即 解得： （2）当 时， 若 ，则 的图象不可能都在x轴上方，∴ 若 ，则y=3的图象都在x轴上方 由（1）（2）得： 反思回顾：此题没有说明所给函数是二次函数，所以要分情况讨论． 例2．已知关于x的方程（m-1）x2-2mx＋m2+m-6=0有两个实根α，β，且满足0＜α＜1＜β，求实数m的取值范围． 解：设f(x)=x2-2mx+m2＋m-6，则方程f（x）=0的两个根α，β，就是抛物线y=f（x）与x轴的两个交点的横坐标． 如图，0＜α＜1＜β的条件是 解得 例3．已知关于x的方程3x2-5x＋a=0的有两个实根α，β，满足条件α∈（-2，0），β∈（1，3），求实数a的取值范围． 解：设f（x）=3x2-5x＋a，由图象特征可知方程f（x）=0的两根α，β，并且α∈（-2，0），β∈（1，3）的 解得-12＜a＜0． 四、课后演武场 1.已知方程(m-1)x2+3x-1=0的两根都是正数，则m的取值范围是（ B ） A． B． C． D． 2.方程 x2+(m2-1)x+(m-2)=0的一个根比1大，另一个根比-1小，则m的取值范围是（ C ） A．0＜m＜2 B．-3＜m＜1 C．-2＜m＜0 D．-1＜m＜1 3.已知方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ C ） A． B． C． D． 4．已知关于x的方程3x2+（m-5）x＋7=0的一个根大于4，而另一个根小于4，求实数m的取值范围． 可知方程f（x）=0的一根大于4，另一根小于4的充要条件是：f（4）＜0） 5．已知关于x的方程x2＋2mx＋2m＋3=0的两个不等实根都在区间（0，2）内，求实数m的取值范围． 征可知方程f（x）=0的两根都在（0，2）内的充要条件是 (责任编辑：admin) |
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