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错解剖析得真知（十一）

http://www.newdu.com 2025/05/19 06:05:24 人民教育出版社 佚名 参加讨论


    错解剖析得真知（十一）
    第四章  数列
    §4.1等差数列的通项与求和
    一、知识导学
    1.数列：按一定次序排成的一列数叫做数列.
    2.项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n项，….
    3.通项公式：一般地，如果数列｛an｝的第ｎ项与序号ｎ之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
    4. 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列.
    5. 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列
    6.数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法，其关健是先求出a1,a2,然后用递推关系逐一写出数列中的项.
    7.等差数列:一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用ｄ表示．
    8.等差中项:如果ａ，Ａ，ｂ这三个数成等差数列，那么Ａ＝．我们把Ａ＝叫做ａ和ｂ的等差中项．
    二、疑难知识导析
    1.数列的概念应注意几点：（1）数列中的数是按一定的次序排列的，如果组成的数相同而排列次序不同，则就是不同的数列；（2）同一数列中可以出现多个相同的数；（3）数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集(｛1，2，3，…，n｝)的函数.
    2.一个数列的通项公式通常不是唯一的.
    3.数列｛an｝的前n项的和Sn与an之间的关系：若a1适合an(n>2),则不用分段形式表示，切不可不求a1而直接求an.
    4.从函数的角度考查等差数列的通项公式：an= a1+(n-1)d=d·n+ a1-d, an是关于n的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n,）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列.
    5、对等差数列的前n项之和公式的理解：等差数列的前n项之和公式可变形为，若令A＝，B＝a1－，则＝An2+Bn.
    6、在解决等差数列问题时，如已知，a1，an，d，，n中任意三个，可求其余两个。
    三、经典例题导讲
    [例1]已知数列1，4，7，10，…，3n+7,其中后一项比前一项大3.（1）指出这个数列的通项公式；（2）指出1+4+…+（3n－5）是该数列的前几项之和.
    错解：（1）an=3n+7;
    (2) 1+4+…+（3n－5）是该数列的前n项之和.
    错因：误把最后一项（含n的代数式）看成了数列的通项.（1）若令n=1,a1=101,显然3n+7不是它的通项.
    正解：（1）an=3n－2;
    (2) 1+4+…+（3n－5）是该数列的前n－1项的和.
    [例2] 已知数列的前n项之和为①   ②   
    求数列的通项公式。
    错解： ①
      ②
    错因：在对数列概念的理解上，仅注意了an＝Sn－Sn-1与的关系，没注意a1=S1.
    正解：     ①当时，
           当时，
           经检验 时  也适合，
          ②当时，
             当时，
        ∴   
    [例3] 已知等差数列的前n项之和记为Sn，S10=10 ，S30=70，则S40等于           。
    错解：S30= S10·2d. * d＝30， * S40= S30+d =100.
    错因：将等差数列中Sm, S2m －Sm, S3m －S2m成等差数列误解为Sm, S2m, S3m成等差数列.
    正解：由题意：得
    代入得S40 ＝。
    [例4]等差数列、的前n项和为Sn、Tn.若求；
    错解：因为等差数列的通项公式是关于n的一次函数，故由题意令an=7n+1;bn=4n+27.
    
    错因：误认为
    正解：
    [例5]已知一个等差数列的通项公式an=25－5n，求数列的前n项和；
    错解：由an0得n5
     前5项为非负，从第6项起为负，
    * Sn=a1+a2+a3+a4+a5=50(n5)
    当n6时，Sn=｜a6｜+｜a7｜+｜a8｜+…+｜an｜＝
    * Sn=
    错因：一、把n5理解为n=5，二、把“前n项和”误认为“从n6起”的和.
    正解：  
    [例6]已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，
    由此可以确定求其前项和的公式吗？
    解：理由如下：由题设：    
    得：  
    ∴
    [例7]已知： （）  （1） 问前多少项之和为最     大？（2）前多少项之和的绝对值最小？
    解：（1）       ∴
    （2）
        当近于0时其和绝对值最小
        令：  即 1024+
        得：
            ∵      ∴
    [例8]项数是的等差数列，中间两项为是方程的两根，求证此数列的和是方程 的根。（）
    证明：依题意    
    ∵     ∴
    ∵
    ∴        ∴   （获证）。
    四、典型习题导练
    1．已知，求及。
    2．设，求证：。
    3.求和:
    4.求和：
    5.已知依次成等差数列，求证：依次成等差数列.
    6.在等差数列中， ，则 （       ）。
    A．72　　B．60　　C．48　　D．36
    7. 已知是等差数列，且满足，则等于________。
    8.已知数列成等差数列，且，求的值。
    §4.2等比数列的通项与求和
    一、知识导学
    1. 等比数列：一般地，如果一个数列从第２项起，每一项与它的前一项的比都等于 同 一个 常 数，那 么 这 个 数 列 就 叫 做 等 比 数 列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母ｑ表示．
    2. 等比中项：若ａ，Ｇ，ｂ成等比数列，则称Ｇ 为ａ 和ｂ 的等比中项．
    3.等比数列的前n项和公式：
    二、疑难知识导析
    1.由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q也不为0.
    2.对于公比q，要注意它是每一项与它前一项的比，防止把相邻两项的比的次序颠倒.
    3.“从第2项起”是因为首项没有“前一项”，同时应注意如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列，这时可以说此数列从. 第2项或第3项起是一个等比数列.
    4.在已知等比数列的a1和q的前提下，利用通项公式an=a1qn-1,可求出等比数列中的任一项.
    5.在已知等比数列中任意两项的前提下，使用an=amqn-m可求等比数列中任意一项.
    6.等比数列｛an｝的通项公式an=a1qn-1可改写为.当q>0，且q1时，y=qx是一个指数函数，而是一个不为0　的常数与指数函数的积，因此等比数列｛an｝的图象是函数的图象上的一群孤立的点.
    7．在解决等比数列问题时，如已知，a1，an，d，，n中任意三个，可求其余两个。
    三、经典例题导讲
    [例1] 已知数列的前n项之和Sn=aqn（为非零常数），则为（　）。
    A.等差数列　　　
    B.等比数列　　
    C.既不是等差数列，也不是等比数列
    D.既是等差数列，又是等比数列
    错解：
    
    （常数）
    *为等比数列，即B。
    错因：忽略了中隐含条件n＞1.
    正解：当n＝1时，a1=S1＝aq;
    当n>1时，
    （常数）
    但
    *既不是等差数列，也不是等比数列，选C。
    [例2] 已知等比数列的前n项和记为Sn，S10=10 ，S30=70，则S40等于.
    错解：S30= S10·q 2. * q 2＝7，q＝，* S40= S30·q =.
    错因：是将等比数列中Sm, S2m －Sm, S3m －S2m成等比数列误解为Sm, S2m, S3m成等比数列.
    正解：由题意：得，
    *S40=.
    [例3] 求和：a+a2+a3+…+an.
    错解： a+a2+a3+…+an＝.
    错因：是（1）数列｛an｝不一定是等比数列，不能直接套用等比数列前n项和公式（2）用等比数列前n项和公式应讨论q是否等于1.
    正解：当a＝0时，a+a2+a3+…+an＝0;
    当a＝1时，a+a2+a3+…+an＝n;
    当a1时， a+a2+a3+…+an＝.
    [例4]设均为非零实数，，
      求证：成等比数列且公比为。
    证明：
    证法一：关于的二次方程有实根，
     ∴，∴
     则必有：，即，∴非零实数成等比数列
     设公比为，则，代入
    
     ∵，即，即。
    证法二：∵
      ∴
      ∴，∴，且
      ∵非零，∴。
    [例5]在等比数列中，，求该数列前7项之积。
     解：
    ∵，∴前七项之积
    [例6]求数列前n项和
     解：               ①
      ②
    两式相减：
    
    [例7]从盛有质量分数为20%的盐水2kg的容器中倒出1kg盐水，然后加入1kg水，以后每次都倒出1kg盐水，然后再加入1kg水，
    问：(1)第5次倒出的的1kg盐水中含盐多kg？
    (2)经6次倒出后，一共倒出多少kg盐？此时加1kg水后容器内盐水的盐的质量分数为多少？
    解：(1)每次倒出的盐的质量所成的数列为{an}，则：
     a1= 0.2 （kg）,   a2=×0.2（kg）,    a3= ()2×0.2（kg）
    由此可见：an= ()n-1×0.2（kg）,   a5= ()5-1×0.2= ()4×0.2=0.0125（kg）。
    (2)由(1)得{an}是等比数列    a1=0.2 ,    q=
    
    答：第5次倒出的的1kg盐水中含盐0.0125kg；6次倒出后，一共倒出0.39375kg盐，此时加1kg水后容器内盐水的盐的质量分数为0.003125。
    四、典型习题导练
    1.求下列各等比数列的通项公式：
    1)       a1=-2,  a3=-8
    2)       a1=5, 且2an+1=-3an
    3)       a1=5, 且
    2.在等比数列，已知，，求.
    3.已知无穷数列，
      求证：（1）这个数列成等比数列
    （2）这个数列中的任一项是它后面第五项的，
    （3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。
    4.设数列为求此数列前项的和。
    5.已知数列{an}中，a1=-2且an+1=Sn，求an ,Sn
    6.是否存在数列{an}，其前项和Sn组成的数列{Sn}也是等比数列，且公比相同？
    7.在等比数列中，，求的范围。
     (责任编辑：admin)



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