错解剖析得真知（三十一）
http://www.newdu.com 2025/05/19 08:05:12 人民教育出版社 佚名 参加讨论
错解剖析得真知（三十一） 第十章 导数及其应用 §10.1导数及其运算 一、知识导学 1.瞬时变化率：设函数  在 附近有定义，当自变量在 附近改变量为 时，函数值相应地改变 ，如果当趋近于0时，平均变化率 趋近于一个常数c（也就是说平均变化率与某个常数c的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数c称为函数 在点的瞬时变化率。2.导数：当 趋近于零时， 趋近于常数c。可用符号“ ”记作：当 时， 或记作 ，符号“”读作“趋近于”。函数在的瞬时变化率，通常称作在处的导数，并记作 。3.导函数：如果 在开区间 内每一点 都是可导的，则称在区间可导。这样，对开区间内每个值，都对应一个确定的导数 。于是，在区间内，构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数的导函数。记为或 （或 ）。4.导数的四则运算法则：1）函数和（或差）的求导法则：设 ， 是可导的，则 即，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差）。2）函数积的求导法则：设 ，是可导的，则 即，两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数。3）函数的商的求导法则：设 ，是可导的， ，则 5.复合函数的导数:设函数  在点处有导数 ,函数 在点的对应点 处有导数 ,则复合函数  在点处有导数,且 .6.几种常见函数的导数： (1)  (2) (3)  (4) (5)  (6) (7)  (8) 二、疑难知识导析 1.导数的实质是函数值相对于自变量的变化率 2.运用复合函数的求导法则 ,应注意以下几点（1）利用复合函数求导法则求导后,要把中间变量换成自变量的函数,层层求导. (2) 要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量求导，不能混淆，一直计算到最后，常出现如下错误，如  实际上应是 。(3) 求复合函数的导数，关键在于分清楚函数的复合关系，选好中间变量，如  选成 ， 计算起来就复杂了。3.导数的几何意义与物理意义 导数的几何意义，通常指曲线的切线斜率.导数的物理意义，通常是指物体运动的瞬时速度。对导数的几何意义与物理意义的理解，有助于对抽象的导数定义的认识，应给予足够的重视。 4.  表示 处的导数，即是函数在某一点的导数；表示函数在某给定区间内的导函数，此时是在上的函数，即是在内任一点的导数。5.导数与连续的关系 若函数 在处可导，则此函数在点处连续，但逆命题不成立，即函数在点处连续，未必在点可导，也就是说，连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件。6.可以利用导数求曲线的切线方程 由于函数 在处的导数，表示曲线在点 处切线的斜率，因此，曲线 在点处的切线方程可如下求得：（1）求出函数 在点处的导数，即曲线在点处切线的斜率。（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为：  ，如果曲线在点的切线平行于 轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为.三、经典例题导讲 [例1]已知  ,则 .错因：复合函数求导数计算不熟练,其  与系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了,导致错解为: .正解：设  , ,则    .[例2]已知函数  判断f(x)在x=1处是否可导？错解：  。分析： 分段函数在“分界点”处的导数，须根据定义来判断是否可导 . 解：   ∴ f(x)在x=1处不可导. 注：  ，指逐渐减小趋近于0； ，指逐渐增大趋近于0。点评：函数在某一点的导数，是一个极限值，即  ，△x→0，包括△x→0＋，与△x→0－，因此，在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时，要验证其左、右极限是否存在且相等，如果都存在且相等，才能判定这点存在导数，否则不存在导数.[例3]求  在点 和 处的切线方程。错因：直接将  ， 看作曲线上的点用导数求解。分析：点 在函数的曲线上，因此过点的切线的斜率就是在 处的函数值；点 不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线．解：  即过点 的切线的斜率为4，故切线为： ．设过点 的切线的切点为 ，则切线的斜率为 ，又 ，故  ， 。即切线  的斜率为4或12，从而过点的切线为： 点评： 要注意所给的点是否是切点．若是，可以直接采用求导数的方法求；不是则需设出切点坐标． [例4]求证：函数  图象上的各点处切线的斜率小于1，并求出其斜率为0的切线方程.分析： 由导数的几何意义知，要证函数 的图象上各点处切线的斜率都小于1，只要证它的导函数的函数值都小于1，因此，应先对函数求导后，再进行论证与求解. 解：（1）  ，即对函数定义域内的任一，其导数值都小于 ，于是由导数的几何意义可知，函数图象上各点处切线的斜率都小于1.（2）令  ，得 ，当时， ；当 时， ，曲线的斜率为0的切线有两条，其切点分别为 与 ，切线方程分别为 或 。点评： 在已知曲线 切线斜率为 的情况下，要求其切线方程，需要求出切点，而切点的横坐标就是的导数值为时的解，即方程 的解，将方程的解代入就可得切点的纵坐标，求出了切点坐标即可写出切线方程，要注意的是方程有多少个相异实根，则所求的切线就有多少条. [例5]（02年高考试题）已知  ，函数 ， ，设 ，记曲线在点 处的切线为  . （1）求 的方程； （2）设 与 轴交点为 ，求证： ①  ； ②若 ，则 分析：本题考查导数的几何意义，利用其求出切线斜率，导出切线方程 . 解：（1）     切线的方程为 即  .（2）①依题意，切线方程中令y=0得，  ②由①知  ，  [例6]求抛物线  上的点到直线 的最短距离. 分析：可设  为抛物线上任意一点，则可把点到直线的距离表示为自变量的函数，然后求函数最小值即可，另外，也可把直线向靠近抛物线方向平移，当直线与抛物线相切时的切点到直线的距离即为本题所求. 解：根据题意可知，与直线 x－y－2=0平行的抛物线y=x2的切线对应的切点到直线x－y－2=0的距离最短，设切点坐标为（  ），那么 ,∴ ∴ 切点坐标为  ，切点到直线x－y－2=0的距离 ，∴ 抛物线上的点到直线的最短距离为  .四、典型习题导练 1.函数 在 处不可导，则过点 处，曲线的切线 （ ） A．必不存在 B．必定存在 C．必与x轴垂直 D．不同于上面结论 2.  在点x=3处的导数是____________.3.已知  ，若 ，则 的值为____________.4.已知P（－1，1），Q（2，4）是曲线 上的两点，则与直线 平行的曲线的切线方程是 _____________. 5.如果曲线  的某一切线与直线 平行，求切点坐标与切线方程.6．若过两抛物线  和 的一个交点为P的两条切线互相垂直.求证：抛物线过定点，并求出定点的坐标.(责任编辑：admin) |
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