错解剖析得真知（三十二）
http://www.newdu.com 2025/05/19 11:05:28 人民教育出版社 佚名 参加讨论
错解剖析得真知（三十二） §10.2导数的应用 一、 知识导学 1.可导函数的极值 （1）极值的概念 设函数  在点 附近有定义，且若对附近的所有的点都有 （或 ），则称 为函数的一个极大（小）值，称为极大（小）值点.（2）求可导函数 极值的步骤:①求导数  。求方程 的根.②求方程  的根.③检验 在方程的根的左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数 在这个根处取得极大值；如果在根的右侧附近为正，左侧附近为负，那么函数在这个根处取得极小值.2.函数的最大值和最小值 （1）设 是定义在区间 上的函数，在 内有导数，求函数在上的最大值与最小值，可分两步进行.①求 在内的极值.②将 在各极值点的极值与 、 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.（2）若函数 在上单调增加，则为函数的最小值，为函数的最大值；若函数在上单调递减，则为函数的最大值，为函数的最小值.二、疑难知识导析 1.在求可导函数的极值时，应注意：（以下将导函数 取值为0的点称为函数的驻点可导函数的极值点一定是它的驻点，注意一定要是可导函数。例如函数 在点 处有极小值 =0，可是这里的 根本不存在，所以点不是的驻点.(1) 可导函数的驻点可能是它的极值点，也可能不是极值点。例如函数  的导数 ，在点处有 ，即点是的驻点，但从在 上为增函数可知，点不是的极值点.(2) 求一个可导函数的极值时，常常把驻点附近的函数值的讨论情况列成表格，这样可使函数在各单调区间的增减情况一目了然. (3) 在求实际问题中的最大值和最小值时，一般是先找出自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域.如果定义域是一个开区间，函数在定义域内可导（其实只要是初等函数，它在自己的定义域内必然可导），并且按常理分析，此函数在这一开区间内应该有最大（小）值（如果定义域是闭区间，那么只要函数在此闭区间上连续，它就一定有最大（小）.记住这个定理很有好处），然后通过对函数求导，发现定义域内只有一个驻点，那么立即可以断定在这个驻点处的函数值就是最大（小）值。知道这一点是非常重要的，因为它在应用上较为简便，省去了讨论驻点是否为极值点，求函数在端点处的值，以及同函数在极值点处的值进行比较等步骤. 2.极大（小）值与最大（小）值的区别与联系 极值是局部性概念，最大（小）值可以看作整体性概念，因而在一般情况下，两者是有区别的.极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值，但如果连续函数在区间  内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值.三、经典例题导讲 [例1]已知曲线  及点 ，求过点 的曲线 的切线方程.错解：  ， 过点的切线斜率 ，过点的曲线的切线方程为 .错因：曲线在某点处的切线斜率是该曲线对应的函数在该点处的导数值，这是导数的几何意义.在此题中，点 凑巧在曲线上，求过点的切线方程，却并非说切点就是点，上述解法对求过点的切线方程和求曲线在点处的切线方程，认识不到位，发生了混淆.正解：设过点 的切线与曲线切于点 ，则过点的曲线的切线斜率 ，又 ， 。① 点 在曲线上， ②，②代入①得 化简，得  ， 或 .若 ，则 ，过点的切线方程为；若，则 ，过点的切线方程为 过点的曲线的切线方程为或[例2]已知函数  在 上是减函数，求 的取值范围.错解：  在上是减函数， 在上恒成立， 对一切 恒成立， ，即 ， .正解:   ， 在上是减函数， 在上恒成立， 且 ，即 且， .[例3]当  ，证明不等式 .证明：  ， ，则 ，当时。 在 内是增函数， ，即 ，又 ，当时， ， 在内是减函数， ，即 ，因此，当时，不等式成立.点评：由题意构造出两个函数 ，.利用导数求函数的单调区间，从而导出 及 是解决本题的关键.[例4]设工厂到铁路线的垂直距离为20km,垂足为B.铁路线上距离B为100km处有一原料供应站C,现要在铁路BC之间某处D修建一个原料中转车站,再由车站D向工厂修一条公路.如果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为3:5,那么,D应选在何处,才能使原料供应站C运货到工厂A所需运费最省? 解 ： 设BD之间的距离为  km,则|AD|= ,|CD|= .如果公路运费为元/km,那么铁路运费为 元/km.故从原料供应站C途经中转站D到工厂A所需总运费 为:  + ,( ).对该式求导,得 = + = ,令 ,即得25 =9( ),解之得 =15, =-15(不符合实际意义,舍去).且=15是函数在定义域内的唯一驻点,所以=15是函数的极小值点,而且也是函数的最小值点.由此可知,车站D建于B,C之间并且与B相距15km处时,运费最省.点评： 这是一道实际生活中的优化问题,建立的目标函数是一个复合函数,用过去的知识求其最值往往没有一般方法,即使能求出,也要涉及到较高的技能技巧.而运用导数知识,求复合函数的最值就变得非常简单.一般情况下,对于实际生活中的优化问题,如果其目标函数为高次多项式函数、简单的分式函数简单的无理函数、简单的指数、对数函数,或它们的复合函数,均可用导数法求其最值.由此也可见,导数的引入,大大拓宽了中学数学知识在实际优化问题中的应用空间. [例5]（2006年四川）函数  ，其中 是的导函数.（1）对满足－1≤≤1的一切的值，都有 ＜0，求实数的取值范围；（2）设 ＝－ ，当实数 在什么范围内变化时，函数＝的图象与直线＝3只有一个公共点.解：（1）由题意  令  ， 对 ，恒有 ，即 ∴  即 解得  故  时，对满足－1≤≤1的一切的值，都有.（2）  ①当  时， 的图象与直线 只有一个公共点②当  时，列表：
∴  又∵  的值域是，且在 上单调递增∴当  时函数 的图象与直线只有一个公共点.当  时，恒有 由题意得  即  解得  综上， 的取值范围是 .[例6]若电灯B可在桌面上一点O的垂线上移动，桌面上有与点O距离为 的另一点A，问电灯与点0的距离怎样，可使点A处有最大的照度？（ 照度与 成正比，与 成反比）分析：如图，由光学知识，照度 与成正比，与 成反比，即 （ 是与灯光强度有关的常数）要想点 处有最大的照度，只需求的极值就可以了. 解：设  到 的距离为，则 ， 于是  ， .当 时，即方程 的根为 （舍）与 ，在我们讨论的半闭区间 内，所以函数在点 取极大值，也是最大值。即当电灯与点距离为时，点的照度为最大.
点评：在有关极值应用的问题中，绝大多数在所讨论的区间上函数只有一点使得 =0且在该点两侧，的符号各异，一般称为单峰问题，此时，该点就是极值点，也是最大（小）值点.四、典型习题导练 1．已知函数  ，若 是 的一个极值点，则值为 （ ）A．2 B.-2 C.  D.42.已知函数  在 处有极值为10，则 = .3．给出下列三对函数：①  ② ， ③  ， ；其中有且只有一对函数“既互为反函数，又同是各自定义域上的递增函数”，则这样的两个函数的导函数分别是 ， .4．已知函数  有极大值和极小值，求的取值范围.5．已知抛物线  ，过其上一点引抛物线的切线 ，使与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积最小，求的方程.6．设  在 上的最大值为，，（1）求 的表达式；（2）求的最大值.§10.3定积分与微积分基本定理 一、知识导学 1．可微：若函数 在的增量 可以表示为的线性函数 （是常数）与较高阶的无穷小量之和: （1）,则称函数 在点可微，（1）中的称为函数在点的微分，记作 或 .函数在点可微的充要条件是函数在可导，这时（1）式中的等于 .若函数在区间 上每点都可微，则称为上的可微函数.函数在上的微分记作 .2．微积分基本定理：如果  ，且在 上可积.则 .其中 叫做的一个原函数.由于  ， 也是的原函数，其中 为常数.二、疑难知识导析 1 .定积分的定义过程包括“分割、近似求和、取极限”这几个步骤，这里包含着很重要的数学思想方法，只有对定积分的定义过程了解了，才能掌握定积分的应用. 1）一般情况下，对于区间的分割是任意的，只要求分割的小区间的长度的最大者  趋近于0，这样所有的小区间的长度才能都趋近于0，但有的时候为了解题的方便，我们选择将区间等份成 份，这样只要2其中的使 就可以了.2）对每个小区间内  的选取也是任意的，在解题中也可选取区间的左端点或是右端点.3）求极限的时候，不是  ，而是 .2．在微积分基本定理中，原函数不是唯一的，但我们只要选取其中的一个就可以了，一般情况下选那个不带常数的。因为  .3．利用定积分来求面积时，特别是位于 轴两侧的图形的面积的计算，分两部分进行计算，然后求两部分的代数和.三 、经典例题导讲 [例1]求曲线  与轴在区间 上所围成阴影部分的面积S.错解：分两部分，在   ，在  ，因此所求面积为 2+（-2）=0。分析：面积应为各部分积分的代数和，也就是第二部分的积分不是阴影部分的面积，而是面积的相反数。所以不应该将两部分直接相加。 正解：   [例2]用微积分基本定理证明  （ ）分析：即寻找 的原函数代入进行运算。解；设 ，则 =  = 由微积分基本定理的逆运用可知：上式  所以原式成立，即证。 注：该式可用来求分布在 轴两侧的图形的积分。[例3]根据等式求常数 的值。1）  2） 分析：利用微积分基本定理，求出原函数代入 求解解：1）  2）  [例4]某产品生产x个单位时的边际收入  （１） 求生产了50个单位时的总收入。 （２） 如果已生产了100个单位时，求再生产100个单位时的总收入。 分析：总收入为边际收入的积分和，求总收入既为求边际收入在规定时间内的定积分。由收入函数  和边际收入 的关系可得（1）生产50个单位时的总收入为  =  =99875（2）已生产了100个单位时后，再生产100个单位时的总收入为  答：生产50个单位时的总收入为99875；生产了100个单位时后，再生产100个单位时的总收入为19850. |
↗
处移动到
处时电场力对它所作的功。
。
沿直线运动。求在时间间隔
上的位移。
。
( )
B.
C.
D.
（ ）
，则
。
（2）
及
的表达式
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