联想与构造解抽象可导函数问题
http://www.newdu.com 2025/05/19 08:05:04 人民教育出版社 佚名 参加讨论
联想与构造解抽象可导函数问题 湖北省阳新县高级中学 邹生书 在近几年高考和模拟考中，有一类抽象的可导函数问题在高考和模拟考中闪亮登场频频亮相，题目以能力立意短小精悍，难度较大区分度高，多为客观题中的压轴题。除考查可导函数的运算法则及函数的图象和性质外，重点考查构造法、创造性思维、分析问题和解决问题的能力以及创新意识。这些题目的思维起点都是从观察题设结构特征入手，通过转化和联想构造满足条件的特殊函数或抽象函数，从而打开解题的通道使问题获解。 例1（2009年高考天津文科第10题）已知  的导函数为 ，且 ，则下面在 上恒成立的是（ ）    解法1：用排除法，设  ，由题设得 ，排除B，D。设 ，符合题目条件，但C不恒成立，故选A。以上是《五年高考三年模拟》一书给出的解答，解法简洁干净利落，取特殊值 和特殊函数都恰到好处。问题是这个特殊函数的取得较难，能否取之有道？看完下面的解法2就不难找到答案。解法2（构造满足题意的特殊函数）：设  ，则 ，由此知 的图象应在抛物线 的上方，满足这个条件的函数很多，其中我们最熟悉最简单的要算二次函数，能否构造满足条件的二次函数呢？根据条件的结构特征应是图象在抛物线上方的二次函数，据此设 ，则 ，于是 恒成立，即 恒成立，所以 ，这是满足题设条件的一个充分条件。当时， ，从而排除B；令 得 ，则 ，由此排除C，D。综上可知，应选A。解法3（构造满足题意的抽象函数）：由 左边结构特征联想到积函数的求导公式，构造抽象函数 ，则 。当时， ；当 时，因，所以 ，所以函数在时严格单调递增；当 时，因，所以 ，所以函数在时严格单调递减。由此知函数在处取得最小值，所以 ，同法1知所以必有 ，故应选A。解法4 同法3构造抽象函数 ，可得，当时，；当时，因，所以；当时，因，所以。由此知函数与有相同的单调性，同法1知，故必有，故应选A。例2（2007年陕西高考题） 是定义在 上的非负可导函数，且满足 ，对任意正数 ，若 ，则必有（ ）    解法1 由  联想到函数积的求导公式，于是构造函数 ，则 ，所以在内是单调减函数。又 ，所以 ，即 ，两边同乘 得 ，故选A。解法2 构造函数  ，因为， ，所以 ，所以在内是单调减函数，又，所以 ，即 ，所以 ，故选A。解法3 因为 ，，由得， ，所以在内是单调减函数，又，所以 ，由同向不等式的可乘性知，故选A。例3若函数  满足 ，则当 时， 与 之间的大小关系为（ ）    不能确定解：根据题设条件构造抽象函数  ，则 ，所以是增函数，因为，所以 ，即 ，故 ，从而选B。解题好比是在一条河上架设桥梁，题目的条件即为河的一岸，题目的结论或所求则是河的另一岸，从已知到所求，也就是在已知和未知之间架起一道桥梁。从哪里架桥如何架桥，如何寻找解题的突破口和切入点，联想和转化是寻找解题突破口的重要思维途径，联想和转化往往使问题峰回路转。构造从观察题设的结构特征入手，用联想搭桥用直觉猜想，需要整体思想有时还需不断尝试和调整方能成功。构造是一种创造性思维，构造的过程充满艰辛、充满挑战也充满激情还有构造成功后的快乐体验。 (责任编辑：admin) |