分式函数值域解法探析
http://www.newdu.com 2025/05/19 08:05:58 人民教育出版社 佚名 参加讨论
分式函数值域解法探析 甘肃省定西工贸中专文峰分校 张占荣 函数既是中学数学各骨干知识的交汇点，是数学思想，数学方法应用的载体，是初等数学与高等数学的衔接点，还是中学数学联系实际的切入点，因此函数便理所当然地成为了历年高考的重点与热点，考查函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数以及函数图象。而对函数值域的考查或是单题形式出现，但更多的是以解题的一个环节形式出现，其中求分式函数的值域更是学生失分较大知识点之一。为此，如何提高学生求分式函数值域的能力，是函数教学和复习中较为重要的一环，值得探讨。下面就本人对分式函数值域的教学作如下探究，不馁之处、敬请同仁指教。 一、相关概念 函数值是指在函数y＝f(x)中，与自变量x的值对应的y值。 函数的值域是函数值的集合，是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合。函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。 分式函数是指函数解析式为分式形式的函数。 二、分式函数的类型及值域解法 类型一：一次分式型 一次分式型是指分子与分母都是关于自变量x（或参数）的一次函数的分式函数。 1.y=  (a 0)型例１ 求函数y=  的值域。解法一：常数分离法。将y= 转化为y= （k1,k2为常数），则yk1解：∵y= = ，∴y  。解法二：反函数法。利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。 解：反解y= 得x= ，对调 y=  (x)，∴函数y= 的值域为y。2.y=  (a0)型分析：这是一道含三角函数的一次分式函数，由于含三角函数，不易直接解出x，但其有一个特点：只出现一种三角函数名。可以考虑借助三角函数值域解题，其实质跟y=  （t=sinx）在t的指定区间上求值域类似。即：将y= 反解得sinx=f(y),而-1≤sinx≤1,即-1≤f(y)≤1，解之即可。例２ 求函数y=  的值域。解：由y= 得，sinx= ，∵ -1≤sinx≤1， ∴-1≤ ≤1，解之得  ≤y≤3。3.y=  或y= (a0)型分析：这道题不仅含有三角函数，且三角函数不同，例2解法行不通，但反解之后会出现正、余弦的和、差形式，故可考虑用叠加法。 即：去分母以后，利用叠加公式和|sinx|≤1解题。 例３ 求函数y=  的值域。解：∵2cosx+10 0，∴3sinx-2ycosx=10y+3。 ∴  , 其中 ，由  和 得 ，∴  ,整理得8y2+5y≤0。∴  ≤y≤0 即原函数的值域为[，0]。总结：求一次分式函数的值域，首先要看清楚是在整个定义域内，还是在指定区间上；其次用反函数法解题；再次还要注意含三角函数的分式函数，其实质是在指定区间上求分式函数的值域。 类型二：二次分式型 二次分式型是指分子与分母的最高次项至少有一项是关于x的二次函数。由于出现了x2项，直接反解x的方法行不通。但我们知道，不等式、函数、方程三者相互联系，可以相互转化。所以可考虑将其转化为不等式或方程来解题。 １.y=  (a、d不同时为0)，x∈R型分析：去分母后，可将方程看作是含参数y的二次方程f(x)=0。由于函数的定义域并非空集，所以方程一定有解，  ≥0(f(y)≥0),解该不等式便可求出原函数的值域。即：用判别式法。先去分母，得到含参数y的二次方程f(x)=0,根据判别式 ≥0（=f(y)）,即可求出值域。例４ 求函数y=  的值域。解：由y＝ 得yx2－3x＋4y＝0。当y＝0时，x＝0，当y≠0时，由△≥0得-  ≤y≤。∵函数定义域为R， ∴函数y＝ 的值域为[-，] 。说明：判别式法求二次函数的值域只适用于在整个定义域内，但不能用其在指定的区间上求二次函数的值域，否则就会放大值域。 2.y= (a、d不同时为0)，指定的区间上求值域型。例５ 求  （x< ）的值域。分析：因为x< ，所以若用判别式法，可能会放大其值域。可以考虑使用均值定理解题。解：∵x< ， ∴5-4x>0, >0。∴ =1-4x+=[(5-4x)+ ]-4≥2  -4=-2， ∴原函数的值域为  。例６ 求  的值域。错解： = ≥2。分析：在使用均值定理时一定要注意使用条件“一定、二正、三相等”，显然上述解法中  和 不能相等，“相等”条件不能成立。所以不能使用均值定理。但若用判别式法又无法解决根式问题，此时可考虑借函数的单调性求值域。解：用单调性法 =，令 =t，显然t≥2，则y=t+ (t≥2)，任取2≤t1≤t2,则f(t1)= t1+  , f(t2)= t2+ ，f(t1)- f(t2)=( t1+ )-( t2+)=( t1- t2)( 1- )，∵2≤t1≤t2 ∴t1- t2<0, t1· t2≥4, 1- >0，∴f(t1)- f(t2)=( t1- t2)( 1- )<0 。∴f(t1)< f(t2)，即函数y=t+ 在t≥2上单调递增。∴当t=2、即 =2、x=0时，ymin= ，∴原函数的值域为  。总结：不管是求一次分式函数，还是求二次分式函数的值域，都必须注意自变量的取值范围。虽然我们提倡通解通法的培养，但一定要看到只有对一类题才可以用通解通法。若失去同一类前提，只强调通解通法，便是空中楼阁。 故要因题而论，就事论事，防止一概而论的错误，用辩证和发展的眼光看待问题，这样才会起到事半功倍的效果。 三、提炼知识，总结分式函数值域解法 求函数的值域是高中数学的难点之一，它没有固定的方法和模式。但我们可以针对不同的题型进行归类总结，尽最大可能地寻找不同类型分式函数求值域的通解通法。常用的方法有： 1.反函数法。反函数法是求一次分式函数的基本方法，是利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。但要注意看清楚是在整个定义域内，还是在指定区间上求值域。 2.判别式法。判别式法是求二次分式函数的基本方法之一，即先去分母，把函数转化成关于x的二次方程f(x，y)＝0，因为方程有实根，所以判别式△≥0，通过解不等式求得原函数的值域。需注意的是判别式法求二次函数的值域只适用于在整个定义域内。 3.不等式法。不等式法是利用基本不等式：a＋b≥2  (a、b∈R＋)，是在指定区间上求二次分式函数的基本方法之一，当二次分式函数在指定区间上求值域时可考虑用不等式法。用不等式法求值域，要注意均值不等式的使用条件：“一正、二定、三相等”。4.换元法。换元法是求复合型分式函数值域的常用方法。当分式函数的分子或分母出现子函数（如三角函数）时，可考虑用换元法，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域。要注意换元后自变量的取值范围。 5.单调性法。单调性法是通过确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性求出函数的值域的方法。 另外，还可以根据函数的特点，利用数形结合或求导数的方法求分式函数的值域。由于这些方法不是很常用，在此就不多做说明。 (责任编辑：admin) |