由一则游戏谈起
http://www.newdu.com 2024/12/03 07:12:36 人民教育出版社 佚名 参加讨论
由一则游戏谈起 由一个有趣的数学题，三个瓶子，一个容量为10升，另外两个空容器分别为7升和3升。现在10升容器已装满，三个容器互倒，能否倒出两个五升的油？ 经过一番思索，或许你已求出答案：能。那么是怎样解出来的呢？设(a，b，c)表示（10升容器之油量，7升容器之油量，3升容器之油量）我们可用采用“树形图”来表示：  采用“树形图”，可以把倒油的过程很清楚地表示出来，但这揭示出问题的本质了吗？如果是10升、4升、6升容器，又如何倒出两个五升呢？如果我们还用刚长的方法，将不能把结果表示出来，问题出在哪里呢？这种问题所反映的数学本质是什么呢？其实，我们用上面的方法虽然解出第一题，但并不是最好的，那么有没有用更好的方法来解决这类题呢？事实上经过认真的分析可知，对这几个容器倒好倒去，从数学上来看，无非是对某容器的容量进行加减运算。倒出两个5升，必然有5升油在7升的容器内。于是，我们可采用不定方程求解。 设往7升容器倒进x次，从7升容器往3升容器倒出y次，得：  这是个二元一次不定方程。 令(  为整数），可以得出：   我们取不定方程的最小的正整数解  这事实上正好反映的是树形图中的上一种倒法，如果10升满，4升、6升空，可列不定方程 为易知不此定方程无解，即此时无法分出两个5升的油来。利用不定方程，我们还可以解决一些更复杂的同类问题。如果是50升满，空瓶23升和27升，能否倒出两个25升的来？ 假设往27升的容器倒进x次，得  这一不定方程的通解为  （其中k为整数）。其最小正整数解为  可见这一问题的答案要：能。但过程可能很复杂，这就不再用“树形图”表示其过程了。 通过上面两个例子可以知道“类似这种题都可以用不定方程来解。在解数学题时，不要满足于眼前的答案，而是要去寻找问题的本质及它的规律。 (责任编辑：admin) |