随机数学的产生与发展
http://www.newdu.com 2024/12/04 03:12:07 人民教育出版社 佚名 参加讨论
随机数学的产生与发展 概率和统计的历史可以追溯到遥远的古代，比如，在公元前2000年的埃及古墓中已有正方体的骰子，在古代的游戏与赌博活动中就有概率思想的雏型。但是概率论作为一门学科，则酝酿于16世纪前后的两百余年之间，产生于17世纪中期前后。它的起源与一个所谓的点数问题有关。这个著名的问题是：两个技巧相当的赌徒对局，他们知道怎样的比分赌局终止，也知道取胜所要求的点数，问应该怎样来分配他们的赌注。帕乔利（F.L. Pacioli）在他的《算术，几何，比例和比值要义》（1494年）一书中，首次把点数问题写入数学著作中。直到1654年以前这个问题没有解决。1654年一个赌徒默勒（C. Méré）向法国数学家帕斯卡（Blaise. Pascal）提出了这个问题，帕斯卡对此问题极有兴趣，他写信同费尔马讨论。于是两位数学家通过信件进行讨论，并且各自独立解决了这个问题。 我们用例子来说明两位数学家的讨论。在两个赌徒A和B之间进行赌博，规则规定，两人之间进行若干局比赛，如果A先取得2局胜利，则A获胜；如果B先取得3局胜利，则B获胜，问应该如何来分配赌注。费尔马对这个问题的解法比较简单和直接，而帕斯卡的解法则比较精致和便于推广。 很显然，在这个例子中只需进行4局赌博就能决出胜负。费尔马用a表示A取胜的比赛，用b表示B取胜的比赛；然后考虑a，b两种字母每次取四个的16种可能的排列： aaaa baaa abaa aaba aaab bbaa baba baab abba abab aabb bbba bbab babb abbb bbbb 其中，a出现2次或多于2次的情况是有利于A，这种情况共11种；而b出现3次或多于3次的情况是有利于B，这种情况共5种。因此，赌注应按11：5来分配。推广至一般情形，如果A要在m局取胜，B要在n局取胜，则两种字母a和b每次取m+n-1个的可能的排列为2m+n-1种。这样就可求出a出现m次或多于m次的情况为a种和b出现n次或多于n次的情况为b种，而赌注也就应按a：b来分配。 帕斯卡是利用其于1665年发表的论文《三角阵算术》中讨论过的一种数阵──“算术三角形”（称之为帕斯卡三角形）来解这个问题。这种算术三角形（见下图）。数阵中从第二行起任何元素都是由上一行这个元素正上面的元素加上这个元素左面的元素而得到。  任意阶三角形都可通过画一对角线得到（见上图），沿着对角线的数恰好是二项式系数。例如，沿第五条对角线的数，即1，4，6，4，1是（a+b）4展开式中各项的系数。帕斯卡用它来求出从几件物品中一次取r件的组合数，他正确地表述为  ,其中n!=n（n-1）（n-2）×……×3×2×1。所以沿第五条对角线的数C（4,4）=1，C（4,3）=4，C（4,2）=6，C（4,1）=4，C（4,0）=1，它们的含义分别是a出现四次、三次、二次、一次和0次的方法数。因此点数问题的解[C（4,4）+C（4,3）+C（4,2）]：[C（4,1）+C（4,0）]=11：5。一般情况，如果A要在m局取胜，B要在n局取胜，那么就可选择第m+n条帕斯卡三角形的对角线，并求出这条对角线上前n个元素的和a与后m个元素的和b。则赌注应按a：b来分配。 帕斯卡和费尔马在他们1654年的具有历史意义的通信中还思考了与点数问题有关的一些其他问题，例如当赌博在多于两人或两个赌徒的技巧不同的情况下进行时，赌注的分配问题。帕斯卡和费尔马的这一工作开创了概率的数学理论。1657年荷兰数学家惠更斯（Christian Huygens）在帕斯卡和费尔马通信的基础上于1657年出版了《论赌博中的计算》一书。在该书中，惠更斯认为：“在许多情况下，我认为如果读者仔细研究对象，当可注意到你所处理的不只是赌博问题而已，其中实际上包含着很有趣、很深刻的理论的基础”。惠更斯这一著作是概率论产生的标志之一，它是概率论发展史上第一部专著。因此可以说早期概率与数理统计的创立者是帕斯卡、费尔马和惠更斯。这一时期（17－18世纪初）称为组合概率时期，主要讨论古典概率。 18世纪是概率论的正式形成和发展时期。1713年伯努利（Jacob Bernoulli）在《推想的艺术》中明确发现了概率论最重要的定律之一──“大数定律”。从此概率论从对特殊问题的求解，发展到了一般的理论概括。继伯努利之后，法国数学家棣莫弗（Abraham de Moivre）在1718年发表的《机遇原理》一书中提出了概率乘法法则，以及“正态分布”和“正态分布律”的概念，为概率论的“中心极限定理”建立奠定了基础。 法国数学家拉普拉斯（Pierre Simon Laplace）是科学概率论的最卓越创建者。他在1812年的《分析概率论》中全面总结了概率论的研究成果，并予以严密而又系统的表述。这部著作开创了用分析方法研究随机现象，是概率论发展进入分析概率时期的标志。拉普拉斯建立了一些基本概念，如“事件”、“概率”、“随机变量”、“数学期望”等，从而完善了古典概率论的结构。 20世纪初前苏联数学家柯尔莫哥洛夫（Колмогорв）于1933年发表了《概率的公理化结构》的论文，建立了概率论的公理体系，为理论概率奠定了严格的逻辑基础。 在这期间完成了概率论与数理统计的分家，它的标志是1930年创刊的《数理统计年刊》（Annals of Mathematical Statistics）。 20世纪50年代开始，概率论的发展进入一个新的历史时期──现代概率时期。在此以前，概率论主要把概率问题变成分析问题来解决，解决后再研究其概率含义。从50年代起，概率论形成了自己的研究方法，研究的重点是过程的样本函数性质，即研究过程随时间变化的轨迹性质。在社会发展与需求的影响下，它的理论和应用都有显著的发展，并且逐步出现理论概率与应用概率的分化。 电子计算机的产生与发展，为理论概率与应用概率的发展开辟了广阔的场所。概率论与其它一些科学相结合产生了不少边缘学科，如生物统计、统计物理学以及统计预报等学科。现代概率论已经成为一个非常庞大的数学分支。 (责任编辑：admin) |