对称性的启示
http://www.newdu.com 2024/12/04 04:12:55 人民教育出版社 佚名 参加讨论
对称性的启示 在具有对称性的平面图形中，圆这个最简单的曲线最令人惊叹。它是唯一具有无穷多条对称轴的轴对称图形，它又是特殊的中心对称图形，同学们都知道，中心对称图形绕其对称中心旋转180度后所得到的图形跟原图形重合，而将圆绕其中心旋转任意一个角度后所得的图形跟原图形重合，这是圆的独特性质。怪不得圆被称为最完美的曲线。 同学们也许见过这样一道智力游戏题：设有数量足够多的各种面值的硬币，让两个人轮流的在圆形桌面上摆硬币，每次摆一个，个个不能互相重叠，也不能有一部分落在桌面的边缘意外。这样，经过充分多次以后，谁先摆不下硬币就算输。试证：先摆的人有办法使对方一定输。 先摆的人为什么能稳操胜券呢？就因为圆形桌面是中心对称图形！“先手”只要把第一个硬币摆在桌面的中心，以后不管“后手”把硬币摆在哪里，“先手”总可以把相同面值的硬币摆在与“后手”所摆硬币（关于中心）对称的地方。这样，只要“后手”有地方摆的下“先手”也总可以摆得下。因此“后手”准输。 这里仅仅利用了圆的中心对称性质。因此，本题中把圆形桌面改成矩形桌面、椭圆形桌面或其他具有中心对称性的图形的桌面，问题的结论仍然不变。 同学们大概不会不知道著名的中国“太极图”（图1）吧！实际上，它是把一个圆分成阴阳两个部分而成的，因而具有“阴”和“阳”对立统一的深刻含义。  图2使用以说明太极图画法的：在一个大圆内以其半径为直径，做两个相外切且都内切于大圆的小圆，然后擦掉虚线所示的两个半圆，就画成一个太极图。 面对着我们这个国粹，试想想：能够引一条直线把太极图上阴阳两个部分的面积都平分吗？ 这个问题的解也跟对称性有关。为了叙述的方便，我们以大圆中心O为原点，两小圆的连心线  为y轴，建立一个直角坐标系（图3）。设大圆的面积为4，则阴阳两部分的面积都是2，两个小圆的面积都是1。大圆在第一象限部分的面积也是1，小圆在第二象限部分I的面积为1/2。图形对称性告诉我们，所作的直线必须通过大圆中心O（即原点），它应该把大圆在第一象限的部分分割出面积等于1/2的部分Ⅱ，Ⅱ跟Ⅰ即拼成面积等于1的图形。因此，所作的直线必定是第一象限的象限角平分线。延长之，它也平分太极图的另一部分的面积。因此，第一、第三象限角的平分线就是所求的直线。可以证明，这是唯一符合条件的直线。
 古往今来，优美的对称性曾激起无数科学探索者创造性的灵感。同学们在学习数学中也能经常体验到对称思想的启示。因而，再有对称轴的图形中，给出对称轴一侧的图形，你就应该能够想象出另一侧的图形。果能如此，诸如下面这样的问题是不难解决的：在直线L的同侧有两个圆⊙  与⊙  （图4）。一条光线跟⊙相切射向L后,反射线又跟⊙相切，使画出光线图本题的困难在于不知道光线时从哪个点发生的。要是⊙缩成一点，那么问题变得简单（图5）。  但是，这是我们只知道光线经过点 ，也可以认为光线从点发出射向L后，反射线又跟⊙相切。至于入射点在哪里还未弄清楚。如果让⊙也缩成一点，那么问题就成为我们所熟悉的关于光线从点射向L，反射点经过的问题了。
 最后一个问题的解法是：作点 关于L的对称点 ，连 交L于点P。连 ，则所求光线为射线 （在L上侧的部分）与射线 （图6）。
受对称性的启示，中间那个问题（由同学们自行完成）乃至于原问题也就不难解决了。 原问题解法如下：作⊙  关于直线L的对称图⊙ 。作⊙ 与⊙ 的公切线，则公切线在L上侧部分就是反射线，对公切线在L下侧部分施行关于ｌ的对称变换，就得到入射线（图７）。由于⊙ 与⊙ 的公切线有四条，所以所求的光线共有四条折线（图7只画出一条，请同学们自己画出其他三条）。
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